Отличаются ли три последовательных натуральных числа таким образом, что каждое из них делится на квадрат некоторого

Zagadochnyy_Zamok

9

Да, можно доказать, что три последовательных натуральных числа такие, что каждое из них делится на квадрат некоторого другого натурального числа. Давайте рассмотрим это пошагово.

Предположим, что у нас есть три последовательных натуральных числа: \(n\), \(n+1\) и \(n+2\), где \(n\) - некоторое натуральное число. Нам нужно показать, что каждое из этих чисел делится на квадрат некоторого другого натурального числа.

Пусть \(k\) - натуральное число такое, что \(k^2\) делится на \(n\), то есть \(n = k^2 \cdot m\), где \(m\) - некоторое натуральное число.

Тогда, если мы возьмем \(n+1\), мы можем представить его как \((k^2 \cdot m) + 1\). Возведем это выражение в квадрат:
\[(n+1)^2 = (k^2 \cdot m + 1)^2 = k^4 \cdot m^2 + 2k^2 \cdot m + 1.\]

Заметим, что \(k^4 \cdot m^2\) делится на \(n\) (так как \(n\) равняется \(k^2 \cdot m\)), поэтому остается только доказать, что \(2k^2 \cdot m + 1\) делится на \(n\).

Пусть \(p\) - натуральное число такое, что \(p^2\) делится на \(2k^2 \cdot m + 1\) (если оно существует). Тогда мы можем представить это выражение как \((2k^2 \cdot m + 1) = p^2 \cdot q\), где \(q\) - некоторое натуральное число.

Выразим \(m\) из уравнения \(n = k^2 \cdot m\):
\[m = \frac{n}{k^2}.\]

Подставим это значение в выражение для \(p^2 \cdot q\):
\[2k^2 \cdot \frac{n}{k^2} + 1 = p^2 \cdot q.\]

Упростим это выражение:
\[2n + 1 = p^2 \cdot q.\]

Таким образом, мы видим, что \(2n + 1\) делится на квадрат некоторого натурального числа, а значит, каждое из чисел \(n\), \(n+1\) и \(n+2\) делится на квадрат некоторого другого натурального числа.

Таким образом, мы доказали, что три последовательных натуральных числа такие, что каждое из них делится на квадрат некоторого другого натурального числа.