Как можно определить наличие корней у уравнения и, если они есть, определить их значения, не решая его? Уравнение

Grey

34

Чтобы определить наличие корней у данного квадратного уравнения без его решения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта. Дискриминант \(\Delta\) для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) определяется следующим образом:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

В данном случае, уравнение имеет вид \(x^2 - 7x + 1 = 0\), где \(a = 1\), \(b = -7\), и \(c = 1\). Теперь мы можем вычислить значение дискриминанта для данного уравнения:

\[\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 - 4 = 45\]

Если дискриминант положительный (\(\Delta > 0\)), то уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю (\(\Delta = 0\)), то уравнение имеет один корень. Если дискриминант отрицательный (\(\Delta < 0\)), то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, \(\Delta = 45\), что означает, что уравнение имеет два различных корня. Теперь мы можем определить их значения, используя формулы для нахождения корней:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Подставляя значения \(a = 1\), \(b = -7\), и \(\Delta = 45\), мы можем определить значения корней:

\[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{45}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + \sqrt{45}}{2}\]
\[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{45}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - \sqrt{45}}{2}\]

Таким образом, уравнение \(x^2 - 7x + 1 = 0\) имеет два корня: \(x_1 = \frac{7 + \sqrt{45}}{2}\) и \(x_2 = \frac{7 - \sqrt{45}}{2}\).