Как можно переформулировать следующий математический вопрос: 5cos x * sin 2x + 5cos 2x * sinx если 5cos(pi/2 + 3x)?

Огонек_5888

28

Для того чтобы переформулировать данный математический вопрос, давайте сначала рассмотрим выражение \(5\cos x \cdot \sin 2x + 5\cos 2x \cdot \sin x\).

Мы знаем, что \(\cos(\pi/2 + 3x)\) может быть выражено как \(\sin(3x)\). Исходя из этой информации, мы можем заменить данное значение вместо \(\cos(\pi/2 + 3x)\) и упростить исходное выражение.

Таким образом, мы можем переформулировать вопрос следующим образом: Каков результат выражения \(5 \cos x \cdot \sin 2x + 5 \cos 2x \cdot \sin x\), если значение выражения \(\cos(\pi/2 + 3x)\) заменено на \(\sin(3x)\)?

Теперь, чтобы решить данную задачу, давайте приступим к дальнейшим вычислениям.

Заменяем выражение \(\cos(\pi/2 + 3x)\) на \(\sin(3x)\):

\[5 \cos x \cdot \sin 2x + 5 \cos 2x \cdot \sin x = 5 \cdot \sin(3x) \cdot \sin 2x + 5 \cos 2x \cdot \sin x\]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[5 \cdot \sin(3x) \cdot \sin 2x + 5 \cdot \cos 2x \cdot \sin x = 5 \cdot (\sin(3x) \cdot \sin 2x + \cos 2x \cdot \sin x)\]

Следующим шагом, давайте воспользуемся тригонометрической формулой:
\(\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A - B) - \cos(A + B))\)

Применим эту формулу для слагаемого \(\sin(3x) \cdot \sin 2x\):

\[\sin(3x) \cdot \sin 2x = \frac{1}{2}(\cos(3x - 2x) - \cos(3x + 2x)) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 5x)\]

Теперь пусть \(A = x\) и \(B = 2x\), и применим тригонометрическую формулу для слагаемого \(\cos 2x \cdot \sin x\):

\(\cos 2x \cdot \sin x = \frac{1}{2}(\sin(2x + x) - \sin(2x - x)) = \frac{1}{2}(\sin 3x - \sin x)\)

Теперь мы можем выразить исходное выражение:

\[5 \cdot (\sin(3x) \cdot \sin 2x + \cos 2x \cdot \sin x) = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}(\cos x - \cos 5x) + \frac{1}{2}(\sin 3x - \sin x)\right)\]

Упрощая данное выражение, получаем:

\[5 \cdot \left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{2}\cos 5x + \frac{1}{2}\sin 3x - \frac{1}{2}\sin x\right) = \frac{5}{2}\cos x + \frac{5}{2}\sin 3x - \frac{5}{2}\cos 5x - \frac{5}{2}\sin x\]

Таким образом, результат выражения \(5\cos x \cdot \sin 2x + 5\cos 2x \cdot \sin x\) при условии \(5\cos(\pi/2 + 3x)\) равняется \(\frac{5}{2}\cos x + \frac{5}{2}\sin 3x - \frac{5}{2}\cos 5x - \frac{5}{2}\sin x\).