Как можно представить в виде суммы квадратов двух выражений многочлен 29x^2-20xy+4y^2?

Matvey_1206

20

Для задачи по представлению многочлена \(29x^2 - 20xy + 4y^2\) в виде суммы квадратов двух выражений, мы можем воспользоваться методом разности квадратов. Для этого мы разделим наш многочлен на два квадрата, что позволит нам представить его в таком виде.

1-ый шаг: Мы видим, что у нас есть квадратные члены \(29x^2\) и \(4y^2\), поэтому начнем с их извлечения из исходного многочлена.

\[
29x^2 - 20xy + 4y^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot (-y) + (-2y)^2
\]

2-ой шаг: Далее мы можем заметить, что у нас есть также линейный член \(20xy\). Чтобы учесть его в нашем представлении, мы добавим и вычтем сразу два произведения, одно из которых содержит корень из первого квадрата, а другое - корень из второго квадрата.

\[
\begin{align*}
29x^2 - 20xy + 4y^2 &= (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot (-y) + (-2y)^2 \\
&= (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot (-y) + (-2y)^2 - 2 \cdot 5x \cdot (-y) + 2 \cdot 5x \cdot (-y) \\
&= (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot (-y) - 2 \cdot 5x \cdot (-y) + (-2y)^2 \\
&= (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot y +(-2y)^2 + 2 \cdot 5x \cdot (-y)
\end{align*}
\]

Теперь мы можем поделить последний выражение на два квадрата:

\[
(5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot y +(-2y)^2 + 2 \cdot 5x \cdot (-y) = \left(5x - (-2y)\right)^2 + 2xy
\]

Таким образом, наш исходный многочлен может быть представлен в виде суммы квадратов двух выражений:

\[
29x^2 - 20xy + 4y^2 = \left(5x - (-2y)\right)^2 + 2xy
\]