Как можно представить в виде суммы квадратов двух выражений многочлен 1) 29x^2-20xy+4y^2 2)2x^2+6xy+9y^2-8x+16?

Turandot

33

Для того чтобы представить данные многочлены в виде суммы квадратов двух выражений, мы должны воспользоваться специальной техникой, называемой "методом суммы квадратов".

Воспользуемся этим методом для каждого из многочленов:

1) Мы имеем многочлен \(29x^2 - 20xy + 4y^2\).
Для начала, посмотрим на первые два члена \(29x^2\) и \(-20xy\). Нам нужно составить квадратный трехчлен с этими членами внутри. Чтобы это сделать, рассмотрим половину среднего члена:
\[(-10xy)^2 = 100x^2y^2.\]
Теперь добавим этот член к нашему многочлену:
\[29x^2 - 20xy + 100x^2y^2\].

Затем, мы имеем последний член \(4y^2\). Мы можем представить его в виде квадратноого трехчлена:
\[(2y)^2 = 4y^2.\]
Добавляем его к нашему многочлену:
\[29x^2 - 20xy + 100x^2y^2 + 4y^2.\]

Ответ: Многочлен \(29x^2 - 20xy + 4y^2\) можно представить в виде суммы квадратов двух выражений:
\[29x^2 - 20xy + 100x^2y^2 + 4y^2 = (5x - 2y)^2 + (2y)^2\].

2) Второй многочлен \(2x^2 + 6xy + 9y^2 - 8x + 16\) также можно представить в виде суммы квадратов двух выражений.
Рассмотрим первые три члена \(2x^2\), \(6xy\) и \(9y^2\). Мы можем составить квадратный трехчлен для них:
\[(x + 3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2.\]
Добавляем этот квадратный трехчлен к нашему многочлену:
\[2x^2 + 6xy + 9y^2 - 8x + 16 = (x + 3y)^2 - 8x + 16.\]

Затем, рассмотрим последние два члена \(-8x\) и \(16\). Мы можем представить их в виде квадратного трехчлена:
\[(-4)^2 = 16.\]
Теперь добавляем этот квадратный трехчлен к нашему многочлену:
\[(x + 3y)^2 - 8x + 16 = (x + 3y)^2 - 8x + (-4)^2.\]

Ответ: Многочлен \(2x^2 + 6xy + 9y^2 - 8x + 16\) можно представить в виде суммы квадратов двух выражений:
\[(x + 3y)^2 - 8x + (-4)^2.\]