Как можно представить в виде суммы квадратов двух выражений многочлен 1) 29x^2-20xy+4y^2 2)2x^2+6xy+9y^2-8x+16?

Turandot

33

Для того чтобы представить данные многочлены в виде суммы квадратов двух выражений, мы должны воспользоваться специальной техникой, называемой "методом суммы квадратов".

Воспользуемся этим методом для каждого из многочленов:

1) Мы имеем многочлен $29x^2-20xy+4y^2$.
Для начала, посмотрим на первые два члена $29x^2$ и $-20xy$. Нам нужно составить квадратный трехчлен с этими членами внутри. Чтобы это сделать, рассмотрим половину среднего члена:
$$(-10xy{)}^2=100x^2{y}^2.$$
Теперь добавим этот член к нашему многочлену:
$$29x^2-20xy+100x^2{y}^2$$.

Затем, мы имеем последний член $4y^2$. Мы можем представить его в виде квадратноого трехчлена:
$$(2y{)}^2=4y^2.$$
Добавляем его к нашему многочлену:
$$29x^2-20xy+100x^2{y}^2+4y^2.$$

Ответ: Многочлен $29x^2-20xy+4y^2$ можно представить в виде суммы квадратов двух выражений:
$$29x^2-20xy+100x^2{y}^2+4y^2=(5x-2y{)}^2+(2y{)}^2$$.

2) Второй многочлен $2x^2+6xy+9y^2-8x+16$ также можно представить в виде суммы квадратов двух выражений.
Рассмотрим первые три члена $2x^2$, $6xy$ и $9y^2$. Мы можем составить квадратный трехчлен для них:
$$(x+3y{)}^2=x^2+6xy+9y^2.$$
Добавляем этот квадратный трехчлен к нашему многочлену:
$$2x^2+6xy+9y^2-8x+16=(x+3y{)}^2-8x+16.$$

Затем, рассмотрим последние два члена $-8x$ и $16$. Мы можем представить их в виде квадратного трехчлена:
$$(-4{)}^2=16.$$
Теперь добавляем этот квадратный трехчлен к нашему многочлену:
$$(x+3y{)}^2-8x+16=(x+3y{)}^2-8x+(-4{)}^2.$$

Ответ: Многочлен $2x^2+6xy+9y^2-8x+16$ можно представить в виде суммы квадратов двух выражений:
$$(x+3y{)}^2-8x+(-4{)}^2.$$