Как можно представить выражение cos2a+cos8a в виде произведения?

Suzi

1

Для решения данной задачи, вспомним формулу двойного угла для косинуса:

$$\cos (2a)={\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)$$

Также, нам потребуется формула разности косинусов:

$$\cos (x)-\cos (y)=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

Используя формулу двойного угла, выражение $\cos (2a)+\cos (8a)$ можно представить так:

$${\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)+\cos (8a)$$

Затем, применим формулу разности косинусов для $\cos (8a)$, разложив ее на две разности:

$$\cos (8a)=\cos (6a+2a)=\cos (6a)\cos (2a)-\sin (6a)\sin (2a)$$

Подставим это обратно в наше выражение:

$${\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)+\cos (6a)\cos (2a)-\sin (6a)\sin (2a)$$

Теперь использовав формулу разности косинусов для $\cos (6a)$:

$$\cos (6a)=\cos (4a+2a)=\cos (4a)\cos (2a)-\sin (4a)\sin (2a)$$

Подставим это обратно в выражение:

$${\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)+(\cos (4a)\cos (2a)-\sin (4a)\sin (2a))\cos (2a)-\sin (6a)\sin (2a)$$

Упростим это выражение:

$${\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)+\cos (4a){\cos }^2(2a)-\sin (4a)\sin (2a)\cos (2a)-\sin (6a)\sin (2a)$$

Используя формулы двойного и тройного угла, мы можем преобразовать выражение еще дальше:

$${\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)+{\cos }^2(2a)\cos (4a)-{\sin }^2(2a)\sin (4a)-\sin (6a)\sin (2a)$$

Теперь применим формулу синуса суммы для $\sin (6a)\sin (2a)$:

$$\sin (6a)\sin (2a)=\frac{1}{2}(\cos (6a-2a)-\cos (6a+2a))$$

$$\sin (6a)\sin (2a)=\frac{1}{2}(\cos (4a)-\cos (8a))$$

Подставим этот результат обратно в наше выражение:

$${\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)+{\cos }^2(2a)\cos (4a)-{\sin }^2(2a)\sin (4a)-\frac{1}{2}(\cos (4a)-\cos (8a))$$

Используя простые тригонометрические тождества и упрощая выражение, мы получаем:

$${\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)+\frac{1}{2}({\cos }^2(4a)-{\sin }^2(4a))$$

$${\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)+\frac{1}{2}\cos (8a)$$

Таким образом, мы представили исходное выражение $\cos (2a)+\cos (8a)$ в виде произведения:

$${\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)+\frac{1}{2}\cos (8a)$$