Как можно представить выражение cos2a+cos8a в виде произведения?

Suzi

1

Для решения данной задачи, вспомним формулу двойного угла для косинуса:

\[\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)\]

Также, нам потребуется формула разности косинусов:

\[\cos(x) - \cos(y) = -2 \sin\left(\frac{{x+y}}{2}\right) \sin\left(\frac{{x-y}}{2}\right)\]

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

Используя формулу двойного угла, выражение \(\cos(2a) + \cos(8a)\) можно представить так:

\[\cos^2(a) - \sin^2(a) + \cos(8a)\]

Затем, применим формулу разности косинусов для \(\cos(8a)\), разложив ее на две разности:

\[\cos(8a) = \cos(6a + 2a) = \cos(6a)\cos(2a) - \sin(6a)\sin(2a)\]

Подставим это обратно в наше выражение:

\[\cos^2(a) - \sin^2(a) + \cos(6a)\cos(2a) - \sin(6a)\sin(2a)\]

Теперь использовав формулу разности косинусов для \(\cos(6a)\):

\[\cos(6a) = \cos(4a + 2a) = \cos(4a)\cos(2a) - \sin(4a)\sin(2a)\]

Подставим это обратно в выражение:

\[\cos^2(a) - \sin^2(a) + (\cos(4a)\cos(2a) - \sin(4a)\sin(2a))\cos(2a) - \sin(6a)\sin(2a)\]

Упростим это выражение:

\[\cos^2(a) - \sin^2(a) + \cos(4a)\cos^2(2a) - \sin(4a)\sin(2a)\cos(2a) - \sin(6a)\sin(2a)\]

Используя формулы двойного и тройного угла, мы можем преобразовать выражение еще дальше:

\[\cos^2(a) - \sin^2(a) + \cos^2(2a)\cos(4a) - \sin^2(2a)\sin(4a) - \sin(6a)\sin(2a)\]

Теперь применим формулу синуса суммы для \(\sin(6a)\sin(2a)\):

\[\sin(6a)\sin(2a) = \frac{1}{2}(\cos(6a - 2a) - \cos(6a + 2a))\]

\[\sin(6a)\sin(2a) = \frac{1}{2}(\cos(4a) - \cos(8a))\]

Подставим этот результат обратно в наше выражение:

\[\cos^2(a) - \sin^2(a) + \cos^2(2a)\cos(4a) - \sin^2(2a)\sin(4a) - \frac{1}{2}(\cos(4a) - \cos(8a))\]

Используя простые тригонометрические тождества и упрощая выражение, мы получаем:

\[\cos^2(a) - \sin^2(a) + \frac{1}{2}(\cos^2(4a) - \sin^2(4a))\]

\[\cos^2(a) - \sin^2(a) + \frac{1}{2}\cos(8a)\]

Таким образом, мы представили исходное выражение \(\cos(2a) + \cos(8a)\) в виде произведения:

\[\cos^2(a) - \sin^2(a) + \frac{1}{2}\cos(8a)\]