Как можно решить данную систему уравнений путем сложения?

Магнитный_Магистр

25

Конечно! Для решения системы уравнений методом сложения, мы будем складывать уравнения таким образом, чтобы одна переменная сокращалась и мы могли решить уравнение с оставшейся переменной.

Допустим, у нас есть следующая система уравнений:

\[
\begin{align*}
2x + 3y &= 8 \\
4x - 2y &= 2
\end{align*}
\]

Чтобы использовать метод сложения, нам нужно сначала привести оба уравнения к такому виду, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях были одинаковыми, но с противоположными знаками.

В данном случае, можно заметить, что если мы умножим первое уравнение на 2, то получим:

\[
\begin{align*}
4x + 6y &= 16 \\
4x - 2y &= 2
\end{align*}
\]

Теперь мы видим, что коэффициенты при переменной \(x\) в обоих уравнениях равны 4.

Теперь, чтобы решить систему уравнений методом сложения, вычитаем второе уравнение из первого:

\[
(4x + 6y) - (4x - 2y) = 16 - 2
\]

Сокращая одинаковые члены, получаем:

\[
4x - 4x + 6y + 2y = 14
\]

Продолжая упрощать, получаем:

\[
8y = 14
\]

Теперь, чтобы найти значение переменной \(y\), делим обе части уравнения на 8:

\[
\frac{8y}{8} = \frac{14}{8}
\]

Это дает нам:

\[
y = \frac{7}{4}
\]

Итак, мы нашли значение переменной \(y\). Теперь, чтобы найти значение переменной \(x\), подставим найденное значение \(y\) в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

\[
2x + 3 \cdot \frac{7}{4} = 8
\]

Упростим это уравнение:

\[
2x + \frac{21}{4} = 8
\]

Вычтем \(\frac{21}{4}\) с обеих сторон уравнения:

\[
2x = 8 - \frac{21}{4}
\]

В данном случае, чтобы упростить вычисления, мы можем представить число 8 как дробь с общим знаменателем 4, то есть \(\frac{32}{4}\):

\[
2x = \frac{32}{4} - \frac{21}{4}
\]

Теперь вычитаем числа:

\[
2x = \frac{11}{4}
\]

Делим обе части уравнения на 2:

\[
\frac{2x}{2} = \frac{11}{4} \div 2
\]

Получаем:

\[
x = \frac{11}{8}
\]

Итак, мы нашли значения переменных \(x\) и \(y\). Решение системы уравнений методом сложения: \(x = \frac{11}{8}, y = \frac{7}{4}\).