КАК МОЖНО УБЕДИТЬ В ТОМ, ЧТО СЕРЕДИНЫ ЧЕТЫРЁХ ОСТАЛЬНЫХ СТОРОН ШЕСТИУГОЛЬНИКА ОБРАЗУЮТ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ?

Морозный_Полет

63

Чтобы убедиться, что середины четырех остальных сторон шестиугольника образуют параллелограмм, мы можем использовать свойство медиан в треугольнике. Медиана это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Давайте представим, что у нас есть шестиугольник ABCDEF.

Для начала, возьмем первую пару сторон - AB и CD. Нам нужно доказать, что их середины M1 и M2 образуют параллелограмм. Для этого мы можем применить свойство медиан в треугольнике ABC.

1. Возьмем точку M1 - середину стороны AB. Нам нужно доказать, что M1 является серединой стороны DE (так как CD параллельно AB).

Поскольку M1 является серединой стороны AB, мы можем сказать, что AM1 = M1B и AM1 параллельно M1B. Таким образом, AM1D является параллелограммом по определению.
\[\begin{align*}
AD &= 2 \cdot AM1 & \text{(свойство медианы в треугольнике ABC)} \\
DE &= 2 \cdot DC & \text{(свойство медианы в треугольнике CDE)}
\end{align*}\]

2. Затем, возьмем следующую пару сторон - CD и EF. Нам нужно доказать, что их середины M2 и M3 образуют параллелограмм. Для этого мы можем применить свойство медиан в треугольнике CDE.

Аналогично предыдущему случаю, мы можем сказать, что CM2E является параллелограммом.
\[\begin{align*}
cd &= 2 \cdot CM2 & \text{(свойство медианы в треугольнике CDE)} \\
EF &= 2 \cdot EM2 & \text{(свойство медианы в треугольнике DEF)}
\end{align*}\]

3. Наконец, мы можем проверить, что M1M3 является параллельным и равным вектором. Мы можем сравнить векторы AM1D и EM2F:
\[\begin{align*}
AM1 &= DM1 \quad (\text{так как AM1D -- параллелограмм}) \\
DM1 &= EM2 \quad (\text{так как EM2F -- параллелограмм}) \\
\end{align*}\]
Отсюда следует, что AM1D и EM2F являются параллелограммами с равными сторонами, а значит M1M3 является параллелограммом.

Таким образом, середины четырех остальных сторон шестиугольника ABCDEF действительно образуют параллелограмм M1M3.