Как можно упростить алгебраическое выражение 3x+9/x²-2x : x+3/4x-8?

Ягодка

54

Конечно! Давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Имеется алгебраическое выражение: \(\frac{{3x + \frac{9}{{x^2 - 2x}}}}{{\frac{{x + 3}}{{4x - 8}}}}\).

Шаг 1: Упростим выражение в числителе.

Для начала приведем дробь \(\frac{9}{{x^2 - 2x}}\) к общему знаменателю с \(3x\).
Заметим, что \(x^2 - 2x\) можно факторизовать как \(x(x - 2)\).
Тогда \(\frac{9}{{x^2 - 2x}}\) можно переписать в виде \(\frac{9}{{x(x - 2)}}\).

Получаем: \(\frac{{3x + \frac{9}{{x(x - 2)}}}}{{\frac{{x + 3}}{{4x - 8}}}}\).

Шаг 2: Теперь упростим знаменатель.

Для начала приведем дробь \(\frac{{x + 3}}{{4x - 8}}\) к общему знаменателю с \(x\).
Заметим, что \(4x - 8\) можно факторизовать как \(4(x - 2)\).
Тогда \(\frac{{x + 3}}{{4x - 8}}\) можно переписать в виде \(\frac{{x + 3}}{{4(x - 2)}}\).

Получаем: \(\frac{{3x + \frac{9}{{x(x - 2)}}}}{{\frac{{x + 3}}{{4(x - 2)}}}}\).

Шаг 3: Избавимся от дроби в знаменателе, умножив на обратную ей дробь.

Чтобы умножить на дробь \(\frac{{4(x - 2)}}{{x + 3}}\), умножим числитель и знаменатель основной дроби на эту дробь.

Получаем: \(\frac{{(3x + \frac{9}{{x(x - 2)}}) \cdot (4(x - 2))}}{{(x + 3) \cdot (x - 2)}}\).

Шаг 4: Умножаем числители и знаменатели дробей в числителе.

Раскроем скобки в числителя и знаменателе. Получаем:

\(\frac{{12x - 24 + 36x(x - 2)}}{{(x + 3) \cdot (x - 2)}}\).

Шаг 5: Упростим выражение в числителе.

Раскроем скобки и объединим подобные члены. Получаем:

\(\frac{{12x - 24 + 36x^2 - 72x}}{{(x + 3) \cdot (x - 2)}}\).

Шаг 6: Сократим общие множители.

В числителе есть два общих множителя \(12\) и \(x\), а в знаменателе есть общий множитель \(x - 2\).
Вынесем эти множители за скобку:

\(\frac{{12(x - 2)(1 + 3x)}}{{(x + 3) \cdot (x - 2)}}\).

Шаг 7: Сокращаем общие множители.

Заметим, что \(x - 2\) в числителе и в знаменателе можно сократить:

\(\frac{{12(1 + 3x)}}{{x + 3}}\).

Таким образом, упрощенное алгебраическое выражение равно \(12(1 + 3x)/(x + 3)\).

Надеюсь, я смог достаточно подробно и понятно объяснить этот пример!