Как можно упростить следующее выражение: 2cos(5a)sin(11a) - sin(6a)?

Leha

10

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Используем тригонометрические формулы
Выражение включает тригонометрические функции, поэтому мы можем воспользоваться тригонометрическими формулами, чтобы упростить его.

Тригонометрическая формула для произведения синусов гласит:
\[\sin(a) \cdot \sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\]

То же самое касается и формулы для произведения косинусов:
\[\cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b)+\cos(a+b)]\]

Также существуют формулы для синуса и косинуса разности и суммы двух углов:
\[\sin(a \pm b) = \sin(a) \cdot \cos(b) \pm \cos(a) \cdot \sin(b)\]
\[\cos(a \pm b) = \cos(a) \cdot \cos(b) \mp \sin(a) \cdot \sin(b)\]

Шаг 2: Применим формулы к исходному выражению
Давайте применим тригонометрические формулы к данному выражению:
\[2\cos(5a)\sin(11a) - \sin(6a) = 2 \cdot \frac{1}{2}[\cos(5a-11a)-\cos(5a+11a)] - \sin(6a)\]
\[= \cos(-6a) - \cos(16a) - \sin(6a)\]

Шаг 3: Избавимся от отрицательных углов
У нас появились отрицательные углы (-6a и -16a). Мы можем использовать формулы для синуса и косинуса разности и суммы двух углов:

\[\cos(-6a) - \cos(16a) - \sin(6a)\]
\[= \cos(6a) - \cos(16a) - \sin(6a)\]

Шаг 4: Сгруппируем подобные члены
Сгруппируем подобные члены в выражении:
\[\cos(6a) - \cos(16a) - \sin(6a) = \cos(6a) - \sin(6a) - \cos(16a)\]

Вот и всё! Мы упростили исходное выражение \(2\cos(5a)\sin(11a) - \sin(6a)\) до \(\cos(6a) - \sin(6a) - \cos(16a)\).