Как можно выразить вектор AC через линейную комбинацию данных некомпланарных векторов, если известно, что M

Zolotoy_Drakon

43

Для решения задачи, давайте введем несколько обозначений:
- Пусть \(\vec{A}\) - точка, из которой исходит вектор \(\vec{AC}\);
- Пусть \(\vec{B}\) - точка, из которой исходит вектор \(\vec{AB}\);
- Пусть \(\vec{M}\) - середина отрезка \(\vec{AB}\);
- Пусть \(\vec{K}\) - середина отрезка \(\vec{BC}\).

Так как \(\vec{M}\) является серединой отрезка \(\vec{AB}\), мы можем записать:
\[\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B}) \tag{1}\]

Также, так как \(\vec{K}\) является серединой отрезка \(\vec{BC}\), мы можем записать:
\[\vec{K} = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{C}) \tag{2}\]

Мы хотим выразить вектор \(\vec{AC}\) через линейную комбинацию \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\). Обратите внимание, что мы уже имеем информацию о \(\vec{M}\) и \(\vec{K}\). Найдем вектор \(\vec{AB}\) через \(\vec{M}\):
\[\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \tag{3}\]

Теперь, мы можем выразить вектор \(\vec{BC}\) через \(\vec{K}\):
\[\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} \tag{4}\]

Объединим уравнения (1), (2), (3) и (4) для получения выражения вектора \(\vec{AC}\):
\[\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \tag{3}\]
\[\Rightarrow \vec{A} = \vec{B} - \vec{AB} \tag{5}\]

\[\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} \tag{4}\]
\[\Rightarrow \vec{C} = \vec{BC} + \vec{B} \tag{6}\]

Подставим (5) и (6) в \(\vec{AC}\):
\[\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} \tag{7}\]
\[\Rightarrow \vec{AC} = (\vec{BC} + \vec{B}) - (\vec{B} - \vec{AB}) \tag{8}\]
\[\Rightarrow \vec{AC} = \vec{BC} + \vec{B} - \vec{B} + \vec{AB} \tag{9}\]
\[\Rightarrow \vec{AC} = \vec{BC} + \vec{AB} \tag{10}\]

Таким образом, мы можем выразить вектор \(\vec{AC}\) через линейную комбинацию векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) следующим образом:
\[\vec{AC} = \vec{BC} + \vec{AB} \tag{10}\]

Надеюсь, это объяснение было понятным и полезным для вас. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.