Как можно выразить вектор SN через векторы CA=a, CB=b и CD=d, если в тетраэдре DABC точка N является серединой ребра

Змей

13

Для того чтобы выразить вектор SN через векторы CA=a, CB=b и CD=d в тетраэдре DABC, нам необходимо воспользоваться свойствами векторов.

Обозначим вектор SN как x.

Поскольку точка N является серединой ребра AB, то вектор SN равен полусумме векторов SA и SB. Математически это можно записать следующим образом:

\[x = \frac{1}{2}(a + b)\]

Далее, чтобы выразить векторы a и b через векторы CA и CB, воспользуемся рассуждениями о равенстве треугольников.

Так как точка P является серединой отрезка AC, то вектор AP равен полусумме векторов AC и CB:

\[AP = \frac{1}{2}(CA + CB)\]

Аналогично, так как точка P является серединой отрезка BC, вектор BP также равен полусумме векторов CA и CB:

\[BP = \frac{1}{2}(CA + CB)\]

Теперь, чтобы выразить векторы a и b через векторы CA и CB, мы можем воспользоваться следующими равенствами:

\[a = AP - CD\]
\[b = BP - CD\]

Подставляя найденные значения в выражение для вектора SN, получим:

\[x = \frac{1}{2}\left((AP - CD)+(BP - CD)\right)\]

Теперь остается только раскрыть скобки и упростить выражение:

\[x = \frac{1}{2}\left((AP + BP) - 2CD\right)\]
\[x = \frac{1}{2}(AP + BP) - CD\]

Таким образом, вектор SN может быть выражен через векторы CA=a, CB=b и CD=d следующим образом:

\[x = \frac{1}{2}(AP + BP) - CD\]