Який радіус кола, яке описується навколо прямокутника ABCD, де сторона AD дорівнює а і утворює з діагоналлю AC

Shnur

60

Для нашого розв"язку ми використаємо властивість про коло, яке описується навколо прямокутника. Відомо, що для будь-якого прямокутника діагональ є діаметром кола, що описується навколо нього. Також, діагональ сполучає протилежні вершини прямокутника і ділить його на два прямокутних трикутники.

Отже, ми можемо використати властивості прямокутного трикутника, щоб знайти радіус кола. Зверніть увагу, що сторона прямокутного трикутника є половиною діагоналі, оскільки вона є його радіусом. Ми можемо позначити половину діагоналі як \( \frac{AC}{2} \), а сторону прямокутного трикутника як \( \frac{AD}{2} \).

Враховуючи це, ми можемо скористатись теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, де сторона \( \frac{AC}{2} \) є гіпотенузою, а сторона \( \frac{AD}{2} \) іншою катетою:

\[ \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \left(\frac{AD}{2}\right)^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 \]

Тепер, давайте знайдемо \( \frac{AB}{2} \). Оскільки відомо, що сторона AD дорівнює а, а протилежна сторона BC також має довжину а, то ширина прямокутника AB дорівнює BC. Тому \( \frac{AB}{2} = \frac{BC}{2} \).

Отже, маємо наступне:

\[ \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \left(\frac{AD}{2}\right)^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 \]

Тепер, враховуючи, що діагональ розташована між протилежними вершинами, ми можемо визначити, що діагональ AC дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника ADC. Таким чином, \( AC = \sqrt{AD^2 + BC^2} \).

Застосуємо це до нашої формули:

\[ \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \left(\frac{AD}{2}\right)^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 \]

Замінимо \( AC \) на \( \sqrt{AD^2 + BC^2} \):

\[ \left(\frac{\sqrt{AD^2 + BC^2}}{2}\right)^2 = \left(\frac{AD}{2}\right)^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 \]

Ми маємо рівняння, в якому невідомим є BC. Ми знаємо, що BC дорівнює AD, згідно з умовою задачі, тому ми можемо підставити AD за BC:

\[ \left(\frac{\sqrt{AD^2 + AD^2}}{2}\right)^2 = \left(\frac{AD}{2}\right)^2 + \left(\frac{AD}{2}\right)^2 \]

Спростимо це рівняння:

\[ \left(\frac{\sqrt{2AD^2}}{2}\right)^2 = \left(\frac{AD}{2}\right)^2 + \left(\frac{AD}{2}\right)^2 \]

\[ \left(\frac{AD\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \left(\frac{AD}{2}\right)^2 + \left(\frac{AD}{2}\right)^2 \]

\[ \frac{AD^2 \cdot 2}{4} = \frac{AD^2}{4} + \frac{AD^2}{4} \]

\[ \frac{2AD^2}{4} = \frac{AD^2}{4} + \frac{AD^2}{4} \]

\[ \frac{2AD^2}{4} = \frac{2AD^2}{4} \]

Отримали рівність, яка є ідентичною. Це означає, що незалежно від значення сторони AD, радіус кола, яке описується навколо прямокутника ABCD, завжди дорівнюватиме \( \frac{AD\sqrt{2}}{2} \).

Таким чином, радіус кола, яке описується навколо прямокутника ABCD, де сторона AD дорівнює а і утворює з діагоналлю AC кут прямий, дорівнює \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \).