Как можно выразить выражение Cos 7a Sin 6a Sin a cos a Sin (П/2 - a) с использованием формулы двойного угла?

Marina

4

Конечно, я могу помочь вам разложить выражение \( \cos 7a \cdot \sin 6a \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right) \) с использованием формулы двойного угла.

Для начала, давайте воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \( \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \). Мы можем применить эту формулу к одному из множителей, например, к \( \sin 6a \):

\[ \sin 6a = \sin (2 \cdot 3a) = 2 \cdot \sin 3a \cdot \cos 3a \]

Теперь разложим \( \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right) \). Это выражение можно переписать, используя формулу для синуса разности углов:

\[ \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right) = \sin \frac{\pi}{2} \cos a - \cos \frac{\pi}{2} \sin a \]

Учитывая, что \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \) и \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \), мы можем упростить данное выражение:

\[ \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right) = \cos a \]

Теперь мы можем применить все наши упрощения к исходному выражению:

\[ \cos 7a \cdot \sin 6a \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right) = \cos 7a \cdot (2 \cdot \sin 3a \cdot \cos 3a) \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \cos a \]

Мы можем также объединить несколько множителей:

\[ = 2 \cdot \cos 7a \cdot \sin 3a \cdot \cos 3a \cdot \sin a \cdot \cos^2 a \]

Таким образом, мы выразили исходное выражение \( \cos 7a \cdot \sin 6a \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right) \) с использованием формулы двойного угла.