Как можно задать отношение R = «х делитель у» на множестве Х разными способами? Как найти обратное и противоположное

Polosatik

62

Отношение R = "х делитель у" на множестве Х можно задать разными способами. Давайте рассмотрим несколько примеров:

1. В виде графика: Для каждой пары значений (х, у), где х делитель у, мы можем нарисовать стрелку от х к у. Например, если Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и отношение R состоит из пар (2, 4), (2, 6), (3, 6), то график будет выглядеть так:

\[
\begin{array}{cccccc}
1 & \rightarrow & & & & \\
2 & \rightarrow & 4 & \rightarrow & 6 & \\
3 & \rightarrow & 6 & \rightarrow & & \\
4 & \rightarrow & & & & \\
5 & \rightarrow & & & & \\
6 & \rightarrow & & & &
\end{array}
\]

2. В виде таблицы: Мы можем представить отношение в виде таблицы, где строки соответствуют элементам множества Х, а столбцы - элементам множества Y. Если элемент х делит элемент у, мы ставим "да" в соответствующую ячейку, в противном случае - "нет". Например, для Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и отношения R с парами (2, 4), (2, 6), (3, 6), таблица будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{cc|c}
& 2 & 4 & 6 \\
\hline
1 & \text{нет} & \text{нет} & \text{нет} \\
2 & \text{да} & \text{да} & \text{да} \\
3 & \text{нет} & \text{нет} & \text{да} \\
4 & \text{нет} & \text{нет} & \text{нет} \\
5 & \text{нет} & \text{нет} & \text{нет} \\
6 & \text{нет} & \text{нет} & \text{нет} \\
\end{array}
\]

Теперь, давайте разберемся с обратным и противоположным отношениями:

1. Обратное отношение: Обратное отношение R^{-1} = "у делитель х" определяется путем инвертирования всех пар в исходном отношении R. Например, если R состоит из пар (2, 4), (2, 6), (3, 6), то обратное отношение R^{-1} будет состоять из пар (4, 2), (6, 2), (6, 3).

2. Противоположное отношение: Противоположное отношение \bar{R} = "х не делитель у" определяется путем замены всех "да" в таблице отношений на "нет" и наоборот. Например, если R из предыдущего примера будет \bar{R} состоять из пар (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 6).

Теперь давайте определим некоторые свойства этого отношения:

1. Рефлексивность: Отношение R является рефлексивным, если каждый элемент множества Х связан с самим собой. В случае отношения "х делитель х", оно будет рефлексивным, так как каждый элемент Х делит сам себя.

2. Симметричность: Отношение R является симметричным, если для каждой пары (х, у) из R, также принадлежит и обратная пара (у, х). В случае отношения "х делитель у", оно не является симметричным, так как если х делит у, то у не делит х, если х не равно у.

3. Транзитивность: Отношение R является транзитивным, если для каждых трех элементов (х, у) и (у, z) из R, также принадлежит и пара (х, z). В случае отношения "х делитель у", оно будет транзитивным, так как если х делит у, и у делит z, то х также будет делить z.

Надеюсь, этот подробный ответ поможет вам лучше понять отношение "х делитель у" и связанные с ним понятия обратного, противоположного и свойств отношения. Если у вас возникнут еще вопросы, обращайтесь!