Как можно записать следующее тригонометрическое выражение в виде произведения: 1) sin a + 1/2 2) корень из 2/2

Magicheskiy_Labirint

37

Добро пожаловать! Чтобы записать данные тригонометрические выражения в виде произведения, мы воспользуемся формулами двойного угла. Давайте начнем с первого выражения:

1) \(\sin a + \frac{1}{2}\)

Воспользуемся формулой для синуса суммы двух углов:

\(\sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)

В данном случае, пусть \(b = \frac{\pi}{6}\), так как \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\).
Таким образом, мы получим:

\(\sin a + \sin \frac{\pi}{6} = \sin \left(a + \frac{\pi}{6}\right)\)

Заметьте, что мы выбрали угол \(\frac{\pi}{6}\), который имеет синус равный \(\frac{1}{2}\), чтобы соответствовать слагаемому \(\frac{1}{2}\) в исходном выражении.

Теперь перейдем ко второму выражению:

2) \(\sqrt{\frac{2}{2}} - \sin a\)

\(= \sqrt{\frac{1}{2}} - \sin a\)

\(= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \sin a\)

\(= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \sqrt{\sin^2 a}\)

Опять же, воспользуемся формулой для разности синусов:

\(\sin (a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\)

Пусть \(b = \frac{\pi}{4}\), так как \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Тогда мы имеем:

\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \sqrt{\sin^2 a} = \sqrt{2} \cdot \sin \left(a - \frac{\pi}{4}\right)\)

Итак, результат:

1) \(\sin a + \frac{1}{2} = \sin \left(a + \frac{\pi}{6}\right)\)

2) \(\sqrt{\frac{2}{2}} - \sin a = \sqrt{2} \cdot \sin \left(a - \frac{\pi}{4}\right)\)