Как можно записать выражение (1/9: 8/27): 16/48]: 81/256•1/2 в виде степени?

Лариса

3

Давайте пошагово решим данную задачу и запишем выражение в виде степени.

Шаг 1: Разложение чисел на множители
Для начала разложим числа на множители:
\(\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2}\),
\(\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3}\),
\(\frac{16}{48} = \frac{2^4}{2^4 \cdot 3}\),
\(\frac{81}{256} = \frac{3^4}{2^8}\).

Шаг 2: Упрощение выражения
Теперь сократим все возможные множители:
\(\frac{\frac{1}{3^2}}{\frac{2^3}{3^3}} : \frac{\frac{2^4}{2^4 \cdot 3}}{\frac{3^4}{2^8}} \cdot \frac{1}{2}\).

В числителе дроби \(\frac{1}{3^2}\) сократим множитель 3^2 и получим \(\frac{1}{1}\), что равно 1.
Также в знаменателе дроби \(\frac{2^3}{3^3}\) сократим множитель 3^3 и получим \(\frac{2^3}{1}\), что равно \(2^3\) или просто 8.

Шаг 3: Вычисление выражения
Теперь осталось вычислить оставшуюся дробь:
\(1 : \frac{\frac{2^4}{2^4 \cdot 3}}{\frac{3^4}{2^8}} \cdot \frac{1}{2}\).

Переместим деление в числителе и умножим на обратную величину:
\(1 \cdot \frac{\frac{3}{2^4 \cdot 3}}{\frac{3^4}{2^8}} \cdot \frac{1}{2}\).

Упростим выражение в числителе:
\(\frac{\frac{3}{2^4 \cdot 3}}{\frac{3^4}{2^8}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\frac{3}{1 \cdot 2^4}}{\frac{1}{2^8 \cdot 3^4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2^4} \cdot \frac{2^8 \cdot 3^4}{1} \cdot \frac{1}{2}\).

Теперь можем сократить множители:
\(\frac{3}{2^4} \cdot 2^8 \cdot 3^4 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot 2^4 \cdot 3^4 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}\).

Шаг 4: Запись в виде степени
Теперь можем записать полученное выражение в виде степени. Заметим, что \(2^4 = (2^2)^2 = 4^2\) и \(3^4 = (3^2)^2 = 9^2\):
\(3 \cdot 4^2 \cdot 9^2 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot 16 \cdot 81 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot 16 \cdot 81 \cdot \frac{1}{2}\).

Теперь можем записать полученное выражение в виде степени:
\(3 \cdot 16 \cdot 81 \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot 16 \cdot 81 \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot (16 \cdot 81) \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot (4^2 \cdot 9^2) \cdot \frac{1}{2}\).

Для окончательной записи в виде степени подсчитаем выражение \(16 \cdot 81\), как \(4^2 \cdot 9^2\):
\(3 \cdot (4^2 \cdot 9^2) \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot (4^2 \cdot (3^2)^2) \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot 4^2 \cdot 3^4 \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot 16 \cdot 81 \cdot \frac{1}{2}\).

Таким образом, выражение \((\frac{1}{9} : \frac{8}{27}) : \frac{16}{48} \div \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{2}\) можно записать в виде степени:
\(3 \cdot 16 \cdot 81 \cdot \frac{1}{2}\).