Как найти частные решения следующих уравнений? 1) Если d^2s/dt^2=18t+2, S=4, и ds/dt=5

Solnechnaya_Zvezda

56

Чтобы найти частные решения данного уравнения, можно использовать методы дифференцирования. Для начала, нам дано уравнение второго порядка:

\(\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = 18t + 2\)

Мы также имеем начальные условия:

\(s = 4\) и \(\frac{{ds}}{{dt}} = 5\)

Давайте посмотрим на эти условия по отдельности и найдем решения.

1) Условие: \(s = 4\)

Это даёт нам информацию о значении функции s при t = 0. Мы знаем, что \(s(0) = 4\). Это будет нашим первым условием.

2) Условие: \(\frac{{ds}}{{dt}} = 5\)

Это даёт нам информацию о скорости изменения функции s по времени. Мы знаем, что \(\frac{{ds}}{{dt}} = 5\) при t = 0. Это будет нашим вторым условием.

Теперь давайте найдем решение.

Интегрируем уравнение \(\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = 18t + 2\) дважды по t. Получаем:

\(\frac{{ds}}{{dt}} = 9t^2 + 2t + C_1\)

Теперь проинтегрируем полученное уравнение еще раз:

\(s = 3t^3 + t^2 + C_1t + C_2\)

Теперь, используя условия, найдем значения констант \(C_1\) и \(C_2\).

1) Используем условие \(s(0) = 4\):

\(4 = C_2\)

2) Используем условие \(\frac{{ds}}{{dt}} = 5\) при \(t = 0\):

\(5 = C_1\)

Таким образом, мы нашли значения констант:

\(C_1 = 5\) и \(C_2 = 4\)

Теперь, подставим полученные значения констант в общую формулу для s:

\(s = 3t^3 + t^2 + 5t + 4\)

Это и есть частное решение уравнения \(\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = 18t + 2\) с начальными условиями \(s = 4\) и \(\frac{{ds}}{{dt}} = 5\).