Как доказать, что количество подмножеств множества а с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным

Yarus

32

Чтобы доказать, что количество подмножеств множества "а" с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов, вам потребуется использовать комбинаторное рассуждение.

Множество "а" содержит 100 элементов. Когда мы строим подмножество, для каждого элемента множества мы можем решить, включать его в это подмножество или нет. Таким образом, для каждого элемента у нас есть два варианта - включить его или не включать. Поскольку в множестве "а" всего 100 элементов, у нас имеется 2^100 возможностей построения подмножеств.

Теперь давайте рассмотрим, как распределены подмножества по их размерам. Размер подмножества - это количество элементов, которое оно содержит. Подмножество может быть пустым (0 элементов), содержать 1 элемент, 2 элемента и так далее до 100 элементов.

Рассмотрим подмножества размером 0. Поскольку они не содержат элементов, их количество равно 1 (это пустое множество).

Теперь рассмотрим подмножества размером 1. У нас 100 элементов, и для каждого из них мы можем решить, включать его или нет. Таким образом, количество подмножеств размером 1 равно 100.

Аналогично, для подмножеств размером 2 количество вариантов будет равно \( \binom{100}{2} \) (число сочетаний из 100 по 2).

И так далее, для подмножеств размером 3 количество вариантов будет \( \binom{100}{3} \), для размером 4 - \( \binom{100}{4} \), и так далее.

Для подмножеств размером 100 у нас есть только один вариант - включить все элементы множества. Следовательно, количество подмножеств размером 100 равно 1.

Теперь вопрос состоит в том, как распределены подмножества по чётному и нечётному количеству элементов.

Мы знаем, что сумма чётного и нечётного числа всегда даёт нечётное число. Поэтому, если мы учтём количество подмножеств каждого размера, то обнаружим, что количество подмножеств с чётным числом элементов будет равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов.

Мы можем это увидеть, если взглянем на две числовые последовательности:

1, \( \binom{100}{1} \), \( \binom{100}{2} \), \( \binom{100}{3} \), \( \ldots \), \( \binom{100}{98} \), \( \binom{100}{99} \), \( \binom{100}{100} \) - последовательность количеств подмножеств с нечётными размерами;

и 1, \( \binom{100}{0} \), \( \binom{100}{2} \), \( \binom{100}{4} \), \( \ldots \), \( \binom{100}{96} \), \( \binom{100}{98} \), \( \binom{100}{100} \) - последовательность количеств подмножеств с чётными размерами.

Обратите внимание, что в каждой из последовательностей на концах находится число 1 (потому что у нас только одно подмножество размером 0 и только одно подмножество размером 100). А между этими числами количество подмножеств с чётным числом элементов совпадает с количеством подмножеств с нечётным числом элементов.

Таким образом, мы доказали, что количество подмножеств множества "а" с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов, если множество "а" содержит 100 элементов.

Надеюсь, это решение достаточно понятно для школьника. Если есть ещё вопросы, не стесняйтесь и задавайте!