Как найти корень уравнения 4^8:t⋅2^2=4^6,t?

Черепашка_Ниндзя

63

Конечно! Для начала давайте разберемся с задачей и выразим корень уравнения.

Имеем уравнение: \(\frac{4^8}{t \cdot 2^2} = 4^6 \cdot t\)

Чтобы найти корень этого уравнения, мы сначала упростим его с использованием алгебраических действий и законов степеней.

Перепишем сначала оба числителя в уравнении в виде степеней с одинаковыми основаниями:

\(\frac{(2^2)^8}{t \cdot 2^2} = (2^2)^6 \cdot t\)

Теперь применим закон степени степени, умножения степени на степень и свойства деления степеней с одинаковыми основаниями:

\(\frac{2^{{2 \cdot 8}}}{t \cdot 2^2} = 2^{{2 \cdot 6}} \cdot t\)

\[2^{16} \cdot t^{-1} = 2^{12} \cdot t\]

Дальше избавимся от дроби, переместив \(t^{-1}\) в правую часть уравнения:

\(2^{16} \cdot t = 2^{12} \cdot t^2\)

Теперь приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:

\(2^{16} \cdot t - 2^{12} \cdot t^2 = 0\)

Для решения этого квадратного уравнения мы можем использовать формулу дискриминанта или метод разложения на множители.

Здесь мы воспользуемся методом разложения на множители. Представим выражение в виде произведения:

\(t(2^{16} - 2^{12} \cdot t) = 0\)

Теперь мы имеем два множителя. Один из них равен нулю, поэтому нам нужно рассмотреть два возможных случая:

1. \(t = 0\)
2. \(2^{16} - 2^{12} \cdot t = 0\)

В первом случае, если \(t = 0\), то левая часть уравнения будет равна 0, а правая часть также будет равна 0. Поэтому это решение является корректным.

Во втором случае, решим уравнение \(2^{16} - 2^{12} \cdot t = 0\) относительно \(t\):

\(2^{16} - 2^{12} \cdot t = 0\)

Вынесем общий множитель \(2^{12}\):

\(2^{12} \cdot (2^{4} - t) = 0\)

Теперь у нас есть два возможных случая:

1. \(2^{12} = 0\)
2. \(2^{4} - t = 0\)

В первом случае, это невозможно, так как \(2^{12}\) не может быть равно нулю.

Во втором случае, решим уравнение \(2^{4} - t = 0\) относительно \(t\):

\(2^4 - t = 0\)

\(t = 2^4\)

\(t = 16\)

Итак, мы получили два решения для уравнения:

1. \(t = 0\)
2. \(t = 16\)

Таким образом, корни данного уравнения равны 0 и 16.