Как найти корни следующих уравнений: а) х^4 - 3х^2 + 2 = 0; б) х^4 - 10х^2 + 9 = 0; в) х^4 - 5х^2 + 4 = 0; г

Медвежонок

65

Для нахождения корней данных уравнений мы можем использовать метод замены переменной. Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди и пошагово найдем его корни.

а) \(x^4 - 3x^2 + 2 = 0\)

Давайте заменим \(x^2\) через новую переменную \(y\), тогда у нас получится:

\[y^2 - 3y + 2 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или формулы дискриминанта.

Факторизация:
\[y^2 - 3y + 2 = (y - 2)(y - 1) = 0\]

Получаем два возможных значения для \(y\): \(y_1 = 2\) и \(y_2 = 1\)

Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим найденные значения \(y\):

Для \(y_1 = 2\):
\[x^2 - 2 = 0\]

Это уравнение имеет два корня: \(x_1 = \sqrt{2}\) и \(x_2 = -\sqrt{2}\)

Для \(y_2 = 1\):
\[x^2 - 1 = 0\]

Это уравнение также имеет два корня: \(x_3 = 1\) и \(x_4 = -1\)

Итак, уравнение \(x^4 - 3x^2 + 2 = 0\) имеет четыре корня: \(x_1 = \sqrt{2}\), \(x_2 = -\sqrt{2}\), \(x_3 = 1\) и \(x_4 = -1\).

б) \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\)

Аналогично предыдущему примеру, заменим \(x^2\) через новую переменную \(y\):

\[y^2 - 10y + 9 = 0\]

Это квадратное уравнение имеет два корня: \(y_1 = 1\) и \(y_2 = 9\)

Переходя к исходному уравнению и подставляя значения \(y\), получаем:

Для \(y_1 = 1\):
\[x^2 - 1 = 0\]

Это уравнение имеет два корня: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -1\)

Для \(y_2 = 9\):
\[x^2 - 9 = 0\]

Это уравнение также имеет два корня: \(x_3 = 3\) и \(x_4 = -3\)

Итак, уравнение \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\) имеет четыре корня: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 3\) и \(x_4 = -3\).

Продолжим с оставшимися уравнениями в аналогичном стиле.