Как найти корни уравнения f(x)=1, при условии, что x не равно нулю, и f(x)+2f(1/x)=3x?

Miroslav_9035

69

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть уравнение \(f(x) = 1\) и условие \(f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x\). Мы знаем, что \(x\) не равен нулю.

Шаг 1: Подставим \(x\) вместо \(x\) в уравнение \(f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x\). Получим:

\(f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x\)

Шаг 2: Заменим \(f(x)\) на 1 в уравнении:

\(1 + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x\)

Шаг 3: Теперь мы должны решить это уравнение для неизвестной \(x\).

Шаг 3.1: Умножим каждый член уравнения на \(x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(x + 2xf\left(\frac{1}{x}\right) = 3x^2\)

Шаг 3.2: Поделим каждый член на \(x\):

\(1 + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x\)

Шаг 3.3: Перенесём \(3x\) на другую сторону уравнения:

\(2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x - 1\)

Шаг 3.4: Разделим каждый член на 2:

\(f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3x - 1}{2}\)

Шаг 4: Теперь у нас есть уравнение \(f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3x - 1}{2}\), которое связывает \(f\) с \(\frac{1}{x}\).

Шаг 5: Учитывая, что у нас есть значение \(f(x) = 1\), мы можем заменить \(x\) на \(\frac{1}{x}\) в этом уравнении:

\(f(x) = \frac{3\left(\frac{1}{x}\right) - 1}{2}\)

Шаг 6: Упростим это уравнение:

\(1 = \frac{3 - x}{2x}\)

Шаг 7: Умножим оба члена уравнения на \(2x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(2x = 3 - x\)

Шаг 8: Перенесем \(x\) на другую сторону уравнения:

\(3x = 3\)

Шаг 9: Разделим оба члена на 3:

\(x = 1\)

Ответ: Корень уравнения \(f(x) = 1\) при условии \(x \neq 0\) равен \(x = 1\).