Из урны, содержащей 7 шаров, из которых 4 голубых и остальные красные, извлекается 3 шара. Необходимо определить
Из урны, содержащей 7 шаров, из которых 4 голубых и остальные красные, извлекается 3 шара. Необходимо определить вероятностный закон распределения дискретной случайной величины x, которая представляет собой количество голубых шаров, извлеченных наудачу из 3-х. Также требуется найти ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины, а также построить график распределения.
Корова 3
Для решения этой задачи нам нужно определить вероятностный закон распределения случайной величины x, которая представляет собой количество голубых шаров, извлеченных наудачу из 3-х.Итак, у нас есть 7 шаров, из которых 4 голубых и 3 красных. Мы извлекаем 3 шара наудачу. Чтобы определить вероятностный закон распределения случайной величины x, мы можем построить таблицу возможных исходов и соответствующих вероятностей.
Давайте составим таблицу:
| x (количество голубых шаров) | Количество сочетаний | Вероятность |
| :-------------: |:-------------:| :-----:|
| 0 | C(3, 0) = 1 | 1/35 |
| 1 | C(3, 1) = 3 | 3/35 |
| 2 | C(3, 2) = 3 | 3/35 |
| 3 | C(3, 3) = 1 | 1/35 |
Здесь С(n, k) обозначает количество сочетаний из n по k, которое вычисляется формулой:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь мы можем найти вероятность каждого значения x. Обратите внимание, что вероятности всех исходов равны 1/35, поскольку общее количество возможных исходов равно 35 (7 шаров выбираются 3 раза).
Функция распределения случайной величины x может быть записана следующим образом:
\[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{x} P(X = k) \]
Теперь давайте найдем ожидание (математическое ожидание) случайной величины x. Оно вычисляется по следующей формуле:
\[ E(X) = \sum_{k=0}^{3} k \cdot P(X = k) \]
Для нашей задачи:
\[ E(X) = 0 \cdot \frac{1}{35} + 1 \cdot \frac{3}{35} + 2 \cdot \frac{3}{35} + 3 \cdot \frac{1}{35} = \frac{12}{35} \approx 0.343 \]
Далее, дисперсия случайной величины x вычисляется по формуле:
\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]
Мы уже знаем E(X), поэтому нам нужно вычислить E(X^2). Это можно сделать следующим образом:
\[ E(X^2) = \sum_{k=0}^{3} k^2 \cdot P(X = k) \]
\[ E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{35} + 1^2 \cdot \frac{3}{35} + 2^2 \cdot \frac{3}{35} + 3^2 \cdot \frac{1}{35} = \frac{26}{35} \approx 0.743 \]
Теперь мы можем вычислить дисперсию:
\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{26}{35} - \left(\frac{12}{35}\right)^2 \approx 0.473 \]
Наконец, построим график распределения для случайной величины x: