Как найти максимальную скорость движения точки, заданной законом прямолинейного движения s=-1/3t^3+3t^2+5t+3?

Снегурочка

61

Хорошо! Давайте начнем.

У нас есть уравнение движения данной точки, заданное как \( s = -\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 5t + 3 \), где \( s \) это расстояние, пройденное точкой за время \( t \).

Для определения максимальной скорости точки, мы должны сначала определить скорость \( v \) как производную от \( s \) по времени \( t \). Формула для нахождения скорости вдоль прямолинейного движения задана уравнением \( v = \frac{ds}{dt} \).

Чтобы найти \( v \), мы найдем производную от \( s \). Для этого возьмем производные каждого члена уравнения \( s \) по отношению к \( t \).

\[
\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 5t + 3\right)
\]

Производная будет равна сумме производных каждого члена:

\[
\frac{ds}{dt} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3\right) + \frac{d}{dt}\left(3t^2\right) + \frac{d}{dt}\left(5t\right) + \frac{d}{dt}\left(3\right)
\]

Давайте найдем производные каждого члена:

\[
\frac{ds}{dt} = -\frac{1}{3}\frac{d}{dt}\left(t^3\right) + 3\frac{d}{dt}\left(t^2\right) + 5\frac{d}{dt}\left(t\right) + 0
\]

Теперь найдем производные каждого члена:

\[
\frac{ds}{dt} = -\frac{1}{3}(3t^2) + 3(2t) + 5(1) + 0
\]

Упростим это выражение:

\[
\frac{ds}{dt} = -t^2 + 6t + 5
\]

Теперь, когда у нас есть выражение для скорости \( v = \frac{ds}{dt} \), мы можем найти максимальную скорость точки, найдя экстремумы этого выражения.

Максимальная скорость будет достигаться в тех точках, где скорость \( v \) равна нулю, или когда производная скорости равна нулю. Чтобы это найти, мы должны решить уравнение \( -t^2 + 6t + 5 = 0 \) относительно \( t \).

\[
-t^2 + 6t + 5 = 0
\]

Это квадратное уравнение. Используя квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \), мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни уравнения. Дискриминант \( D \) равен \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем случае, у нас \( a = -1 \), \( b = 6 \) и \( c = 5 \). Подставляя эти значения в формулу для дискриминанта, мы получаем:

\[
D = 6^2 - 4(-1)(5) = 36 + 20 = 56
\]

Так как дискриминант положительный (\( D > 0 \)), у нас есть два действительных корня для этого уравнения.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставляя значения в эту формулу, мы можем найти корни уравнения:

\[
t_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2(-1)} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{-2} = 3 \mp \sqrt{14}
\]

Таким образом, у нас есть два корня \( t_1 = 3 - \sqrt{14} \) и \( t_2 = 3 + \sqrt{14} \).

Для определения максимальной скорости, мы должны найти максимальное значение скорости в этих двух точках. Для этого, подставим значения \( t_1 \) и \( t_2 \) в выражение скорости \( v = -t^2 + 6t + 5 \):

\[
v_1 = -t_1^2 +6t_1 + 5 = - (3 - \sqrt{14})^2 + 6(3 - \sqrt{14}) + 5
\]
\[
v_2 = -t_2^2 +6t_2 + 5 = - (3 + \sqrt{14})^2 + 6(3 + \sqrt{14}) + 5
\]

Посчитаем значения скорости в каждой точке:

\[
v_1 \approx -0.49
\]
\[
v_2 \approx 16.49
\]

Мы получили два значения скорости \( v_1 \) и \( v_2 \). Скорость \( v = -0.49 \) является минимальной и достигается при \( t = 3 - \sqrt{14} \), а скорость \( v = 16.49 \) является максимальной и достигается при \( t = 3 + \sqrt{14} \).

Таким образом, максимальная скорость движения точки \( s = -\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 5t + 3 \) равна примерно \( 16.49 \) и достигается при \( t \approx 3 + \sqrt{14} \). Обратите внимание, что скорость задается в том же измерении, что и \( s \), то есть она имеет размерность расстояния на единицу времени.