Как найти общее решение уравнения y -13y +12y =18x^2-39?

Янтарь

15

Для начала давайте определим общее решение данного уравнения. Уравнение, которое нам дано, является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения общего решения такого уравнения необходимо найти характеристическое уравнение, решить его и использовать полученные корни для построения общего решения.

1. Найдем характеристическое уравнение. Для этого заменим производные на соответствующие символы, получим:

\(r^2 - 13r + 12 = 0\)

2. Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней:

\(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -13\), \(c = 12\)

\(D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 169 - 48 = 121\)

3. Так как дискриминант \(D\) больше нуля, у нас есть два различных корня:

\(r_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 11}{2} = 12\)

\(r_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 11}{2} = 1\)

4. Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения. Общее решение будет иметь вид:

\(y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\), где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение уравнения \(y"" - 13y" + 12y = 18x^2 - 39\) будет иметь вид:

\(y = C_1e^{12x} + C_2e^{x}\), где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.