Как найти первообразную в общем виде функции f(x) = 6/5√(4x+2) + 1/cos^2(x)?

Sumasshedshiy_Rycar

5

Хорошо, давайте решим данную задачу. Мы должны найти первообразную функции \(f(x) = \frac{6}{5\sqrt{4x+2}} + \frac{1}{\cos^2(x)}\).

Для начала возьмем первое слагаемое и найдем его первообразную. Так как мы имеем дело с функцией, содержащей производную корня, воспользуемся подстановкой \(u = 4x + 2\). Тогда можно выразить \(dx\) через \(du\):

\[u = 4x + 2 \implies du = 4dx \implies dx = \frac{du}{4}.\]

Теперь заменим \(x\) и \(dx\) в исходной функции, получая:

\[f(x) = \frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{1}{\cos^2(x)}.\]

Используя найденное выше значение \(dx\), выразим исходную функцию через новую переменную \(u\):

\[f(x) = \frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)\sin^2(x)}.\]

Для второго слагаемого также воспользуемся тригонометрической подстановкой \(\tan(x) = t\). Тогда можно выразить \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) через \(t\):

\[\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}, \quad \sin(x) = \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}.\]

Подставим эти значения в исходное уравнение, получим:

\[f(x) = \frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\right)^2}{\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}^2\cdot\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\right)^2} = \frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{t^2}{(t^2+1)(t^2)}.\]

Теперь разложим второе слагаемое на простые дроби:

\[\frac{t^2}{(t^2+1)(t^2)} = \frac{A}{t^2+1} + \frac{B}{t^2},\]

где \(A\) и \(B\) — неизвестные константы, которые мы должны найти. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \((t^2+1)(t^2)\):

\[t^2 = A(t^2) + B(t^2+1).\]

Раскроем скобки и соберем все \(t^2\) в одну часть уравнения:

\[t^2 = At^2 + Bt^2 + B \implies t^2 = (A+B)t^2 + B.\]

Так как это равенство должно выполняться для всех значений \(t^2\), то коэффициенты при \(t^2\) должны равняться друг другу. Это позволяет нам найти значения \(A\) и \(B\):

\[1 = A+B.\]

Отсюда следует, что \(A = 1 - B\).

Теперь вернемся к исходной функции и заменим второе слагаемое через \(A\) и \(B\):

\[f(x) = \frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{t^2}{(t^2+1)(t^2)} = \frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{1 - B}{t^2+1} + \frac{B}{t^2}.\]

Как вы помните, мы использовали подстановку \(\tan(x) = t\), поэтому вернемся к переменной \(x\) и заменим \(t\) через \(\tan(x)\):

\[f(x) = \frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{1 - B}{\tan^2(x)+1} + \frac{B}{\tan^2(x)}.\]

Теперь выразим \(u\) через \(x\) и заменим это значение:

\[u = 4x + 2 \implies x = \frac{u-2}{4}.\]

Подставим найденное значение \(x\) в исходное уравнение:

\[f(x) = \frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{1 - B}{\tan^2\left(\frac{u-2}{4}\right)+1} + \frac{B}{\tan^2\left(\frac{u-2}{4}\right)}.\]

Таким образом, мы нашли общий вид первообразной функции \(f(x)\):

\[F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left(\frac{6}{5\sqrt{u}} + \frac{1 - B}{\tan^2\left(\frac{u-2}{4}\right)+1} + \frac{B}{\tan^2\left(\frac{u-2}{4}\right)}\right) \, dx.\]

Но не забудьте, что \(u = 4x + 2\), поэтому заменим \(u\) обратно через \(x\):

\[F(x) = \int \left(\frac{6}{5\sqrt{4x+2}} + \frac{1 - B}{\tan^2\left(\frac{4x}{4} - \frac{2}{4}\right)+1} + \frac{B}{\tan^2\left(\frac{4x}{4} - \frac{2}{4}\right)}\right) \, dx.\]

Окончательно получаем:

\[F(x) = \frac{6}{5}\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}} \, dx + (1 - B)\int \frac{1}{\tan^2\left(\frac{4x}{4} - \frac{2}{4}\right)+1} \, dx + B\int \frac{1}{\tan^2\left(\frac{4x}{4} - \frac{2}{4}\right)} \, dx.\]

Здесь первое слагаемое можно легко проинтегрировать с помощью правила замены, а остальные два слагаемых требуют применения тригонометрических идентичностей. Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам понять, как найти первообразную в общем виде функции \(f(x)\).