Как найти площадь треугольника ABC, у которого основание AC равно 25, сторона AB равна BC и тангенс угла A равен 8/5?

Blestyaschiy_Troll

38

Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h, \]

где AC - основание треугольника, h - высота, опущенная на основание AC.

Для нахождения площади треугольника нам необходимо найти высоту треугольника h. Для этого мы можем воспользоваться теоремой тангенсов.

Теорема тангенсов гласит: для треугольника ABC с углами A, B, C и противоположными сторонами a, b, c соответственно, выполняется равенство:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}.\]

В нашем случае у нас известны длины сторон AB и AC, а также значение тангенса угла A. Мы можем воспользоваться этой информацией, чтобы найти значение угла A и сторону BC.

Так как мы знаем, что стороны AB и BC равны, можно обозначить их как x.

Из теоремы тангенсов мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{x}{\sin(A)} = \frac{25}{\sin(180^\circ - A - A)},\]

где мы использовали то, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Раскроем синусы в данном соотношении:

\[\frac{x}{\sin(A)} = \frac{25}{\sin(A + A)}.\]

Так как синус суммы равен произведению синусов:

\[\frac{x}{\sin(A)} = \frac{25}{\sin(A)\cos(A) + \cos(A)\sin(A)}.\]

Заметим, что синус угла A и синус угла C равны, так как стороны AB и BC равны:

\[\frac{x}{\sin(A)} = \frac{25}{2\sin(A)\cos(A)}.\]

Домножим обе части равенства на \(\frac{2\sin(A)}{x}\):

\[1 = \frac{25}{x\cos(A)}.\]

Отсюда получаем:

\[x\cos(A) = 25.\]

Используя информацию о тангенсе угла A:

\[\frac{\sin(A)}{\cos(A)} = \frac{8}{5}.\]

Так как \(\tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)}\), мы можем записать:

\[\tan(A) = \frac{8}{5}.\]

Решим это уравнение относительно \(\cos(A)\):

\[\frac{\sin(A)}{\cos(A)} = \frac{8}{5}.\]

\[\sin(A)\cos(A) = \frac{8}{5}\cos(A).\]

Отсюда получаем:

\[\sin(A)\cos(A) - \frac{8}{5}\cos(A) = 0.\]

Или:

\[\cos(A)(\sin(A)-\frac{8}{5}) = 0.\]

Отсюда следуют два варианта решения: либо \(\cos(A) = 0\), либо \(\sin(A) = \frac{8}{5}\).

Если \(\cos(A) = 0\), то угол A равен либо 90 градусам, либо 270 градусам. Так как треугольник ABC является остроугольным, мы исключаем вариант 270 градусов. Значит, угол A равен 90 градусам.

Из уравнения \(x\cos(A) = 25\) следует, что \(x = 25\).

Теперь мы можем найти высоту треугольника \(h\):

\[h = \sqrt{x^2 - \frac{AC^2}{4}}.\]

Подставим значения x и AC:

\[h = \sqrt{25^2 - \frac{25^2}{4}}.\]

\[h = \sqrt{625 - \frac{625}{4}}.\]

\[h = \sqrt{625 - 156.25}.\]

\[h = \sqrt{468.75}.\]

\[h \approx 21.65.\]

Теперь, используя формулу для площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h\), мы можем вычислить площадь треугольника ABC:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 21.65.\]

\[S \approx 271.56.\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна примерно 271.56 единицам площади.