Какие значения x являются стационарными точками для функции y=2x^3-15x^2+36x?

Artem

14

Для того чтобы найти стационарные точки функции \(y=2x^3-15x^2+36x\), нужно найти значения \(x\), при которых первая производная этой функции равна нулю. Сначала найдем первую производную, а затем найдем значения \(x\), при которых она равна нулю.

1. Найдем первую производную функции \(y=2x^3-15x^2+36x\).

Чтобы найти первую производную функции, мы возьмем каждый член функции и умножим его на показатель степени, а затем уменьшим показатель степени на единицу.

Получаем:
\[
y"=2\cdot3x^{3-1}-15\cdot2x^{2-1}+36\cdot1x^{1-1}
\]
Упростим:
\[
y"=6x^2-30x+36
\]

2. Теперь найдем значения \(x\), при которых первая производная равна нулю, то есть решим уравнение \(y"=0\).

\[
6x^2-30x+36=0
\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, используя метод разложения на множители или применив квадратное уравнение. Давайте воспользуемся методом разложения на множители.

Факторизуем уравнение:
\[
3(2x^2-10x+12)=0
\]

Внутри скобок у нас получается квадратное уравнение, которое можем факторизовать:
\[
2x^2-10x+12=0
\]

Факторизуем это уравнение:
\[
(2x-4)(x-3)=0
\]

Теперь мы имеем два уравнения для разложенных множителей:

1) \(2x-4=0\)
2) \(x-3=0\)

Решим каждое уравнение отдельно:

1) \(2x-4=0\)

Добавим 4 к обеим сторонам уравнения:
\[
2x=4
\]

Разделим обе стороны уравнения на 2:
\[
x=2
\]

2) \(x-3=0\)

Добавим 3 к обеим сторонам уравнения:
\[
x=3
\]

Таким образом, стационарными точками для функции \(y=2x^3-15x^2+36x\) будут \(x=2\) и \(x=3\).

После анализа и нахождения первой производной функции, мы решили уравнение для стационарных точек. Значения \(x=2\) и \(x=3\) являются решениями этого уравнения и являются стационарными точками для функции \(y=2x^3-15x^2+36x\).