Как найти предел, используя эквивалентные бесконечно-малые: lim x-> 0 ln(1+2x)/tg(2п(x+1/2))?

Космическая_Следопытка_4652

11

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово, чтобы все было понятно. Мы должны найти предел выражения \(\frac{{\ln(1+2x)}}{{\tan(2\pi(x+\frac{1}{2}))}}\) при \(x\) стремящемся к \(0\).

Шаг 1: Найдем эквивалентные бесконечно-малые для \(\ln(1+2x)\) и \(\tan(2\pi(x+\frac{1}{2}))\) при \(x\) стремящемся к \(0\).

Для этого воспользуемся свойствами эквивалентных бесконечно-малых.

Для \(\ln(1+2x)\) справедлива следующая аппроксимация:
\[\ln(1+2x) \approx 2x, \text{ при } x \approx 0.\]
Это можно увидеть, воспользовавшись формулой для логарифма \(\ln(1+x) \approx x\) при \(x \approx 0\).

Для \(\tan(2\pi(x+\frac{1}{2}))\) справедлива следующая аппроксимация:
\[\tan(2\pi(x+\frac{1}{2})) \approx 2\pi(x+\frac{1}{2}), \text{ при } x \approx 0.\]
Это можно увидеть, воспользовавшись формулой для тангенса вида \(\tan(x) \approx x\) при \(x \approx 0\).

Шаг 2: Подставим найденные аппроксимации в исходное выражение и вычислим предел.

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{\ln(1+2x)}}{{\tan(2\pi(x+\frac{1}{2}))}} \approx \lim_{{x \to 0}} \frac{{2x}}{{2\pi(x+\frac{1}{2})}}.\]

Шаг 3: Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе.

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{2x}}{{2\pi(x+\frac{1}{2})}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{x}}{{\pi(x+\frac{1}{2})}}.\]

Шаг 4: Домножим числитель и знаменатель на \(\frac{1}{x}\) и упростим выражение.

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{x}}{{\pi(x+\frac{1}{2})}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{{\pi(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x})}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{{\pi(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x})}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{{\pi(\frac{3}{2x})}}.\]

Шаг 5: Делим числитель и знаменатель на \(x\) и сокращаем.

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{{\pi(\frac{3}{2x})}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{2x}}{{3\pi}} = 0.\]

Ответ: При использовании эквивалентных бесконечно-малых, найденный предел равен \(0\).