Как найти решение для системы уравнений xy = -12 и (x-2)(y-4

Паук

10

Чтобы найти решение для системы уравнений \(xy = -12\) и \((x-2)(y-4)\), давайте решим их шаг за шагом.

1. Начнем с первого уравнения \(xy = -12\).

Исходя из этого уравнения, мы можем сделать несколько наблюдений:

- Если \(x = 0\), то у нас будет \(0 \cdot y = -12\), что невозможно, потому что произведение нуля на любое число будет равно нулю.
- Если \(y = 0\), то снова имеем \(x \cdot 0 = -12\), что невозможно.
- Значит, \(x\) и \(y\) не могут быть равны нулю.

2. Теперь рассмотрим второе уравнение \((x-2)(y-4)\).

Мы можем раскрыть скобки используя метод FOIL (первое, внешнее, внутренние, последнее). Получим:

\((x-2)(y-4) = xy - 4x - 2y + 8\)

3. Подставим это выражение вместо \(xy\) в первом уравнении:

\(xy = -12\) станет \(- 4x - 2y + 8 = -12\).

4. Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} - 4x - 2y + 8 = -12 \\ xy = -12 \end{cases}\)

Чтобы найти решение, давайте продолжим работу над этой системой уравнений:

5. Мы можем начать с второго уравнения и представить \(x\) в терминах \(y\):

\(xy = -12\) станет \(x = \frac{-12}{y}\).

6. Теперь подставим этот результат в первое уравнение:

\(-4x - 2y + 8 = -12\) станет \(-4 \cdot \left(\frac{-12}{y}\right) - 2y + 8 = -12\).

7. Распространим эту формулу:

\(\frac{48}{y} - 2y + 8 = -12\).

8. Чтобы продолжить решение, приведем уравнение к более простому виду, умножив все элементы на \(y\), чтобы избавиться от дробей:

\(48 - 2y^2 + 8y = -12y\).

9. Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\(2y^2 + 20y - 48 = 0\).

10. Это квадратное уравнение мы можем решить с помощью разложения на линейные множители или факторизации. Разложим его:

\((2y - 4)(y + 12) = 0\).

11. Теперь мы получили два возможных значения для \(y\): \(2y - 4 = 0\) или \(y + 12 = 0\).

12. Решим каждое уравнение отдельно:

\(2y - 4 = 0\) станет \(2y = 4\) и \(y = 2\).

\(y + 12 = 0\) станет \(y = -12\).

Таким образом, мы получили два различных значения для \(y\): \(y = 2\) и \(y = -12\).

13. Теперь мы можем вернуться к уравнению \(x = \frac{-12}{y}\) и получить соответствующие значения для \(x\):

Для \(y = 2\), \(x = \frac{-12}{2} = -6\).
Для \(y = -12\), \(x = \frac{-12}{-12} = 1\).

Итак, решение для системы уравнений \(xy = -12\) и \((x-2)(y-4)\) состоит из двух пар значений: (-6, 2) и (1, -12).