Как найти решение для уравнения с выражением (1/x - 4) - (1/x + 6) = 5/28?

Ten

3

Хорошо, разберемся с вашей задачей.

Дано уравнение:
\(\frac{1}{x} - 4 - \frac{1}{x + 6} = \frac{5}{28}\)

Для начала, постараемся избавиться от дробей в уравнении. Для этого приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель в данном случае будет \(x(x + 6)\), так как это общее кратное для знаменателей \(\frac{1}{x}\) и \(\frac{1}{x + 6}\).

Приведем первое слагаемое к общему знаменателю, умножив его на \(\frac{x + 6}{x + 6}\):
\(\frac{1}{x} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} = \frac{x + 6}{x(x + 6)}\)

Приведем второе слагаемое к общему знаменателю, умножив его на \(\frac{x}{x}\), чтобы получить знаменатель \(x(x + 6)\):
\(-4 \cdot \frac{x}{x} = -\frac{4x}{x(x + 6)} = -\frac{4}{x + 6}\)

Теперь приведем третье слагаемое к общему знаменателю:
\(- \frac{1}{x + 6}\)

Объединим все слагаемые с общим знаменателем:
\(\frac{x + 6}{x(x + 6)} - \frac{4}{x + 6} - \frac{1}{x + 6} = \frac{5}{28}\)

Теперь объединим числитель:
\(\frac{x + 6 - 4 - 1}{x(x + 6)} = \frac{5}{28}\)

Упростим числитель:
\(\frac{x + 1}{x(x + 6)} = \frac{5}{28}\)

Теперь умножим оба числителя на \(x(x + 6)\), чтобы избавиться от знаменателя:
\(28(x + 1) = 5x(x + 6)\)

Раскроем скобки:
\(28x + 28 = 5x^2 + 30x\)

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:
\(0 = 5x^2 + 30x - 28x - 28\)

Упростим:
\(0 = 5x^2 + 2x - 28\)

Получили квадратное уравнение.

Теперь решим его, используя квадратную формулу.

Для квадратного уравнения общего вида \(ax^2 + bx + c = 0\), дискриминант (\(D\)) и корни (\(x_1, x_2\)) вычисляются следующим образом:

\(D = b^2 - 4ac\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

В нашем случае \(a = 5\), \(b = 2\), \(c = -28\), поэтому:

\(D = (2)^2 - 4(5)(-28) = 4 + 560 = 564\)

Теперь вычислим корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{564}}{10}\)

\(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{564}}{10}\)

Далее можно вычислить приближенные значения корней.

Таким образом, решение уравнения \( \frac{1}{x} - 4 - \frac{1}{x + 6} = \frac{5}{28} \) имеет два корня: \(x_1\) и \(x_2\) (приближенные значения).
Не забудьте привести значения корней к округленным десятичным числам, если требуется представить их в таком формате.