При каком значении х выражения 2х+6, х+7 и х+4 станут последовательными членами геометрической прогрессии? Какие будут

Mihaylovna

32

Для решения этой задачи нам необходимо найти такое значение \(x\), при котором выражения \(2x + 6\), \(x + 7\) и \(x + 4\) станут последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен \(a\), а знаменатель этой прогрессии равен \(q\). Следующие два члена прогрессии можно найти, умножая первый член на \(q\) и \(q\) во второй степени соответственно.

Таким образом, у нас есть следующие равенства:
\[a = 2x + 6\]
\[aq = x + 7\]
\[aq^2 = x + 4\]

Нам нужно найти значения \(x\), \(a\) и \(q\) такие, чтобы все эти равенства выполнялись одновременно. Для этого мы можем решить систему уравнений, состоящую из этих трех уравнений.

Найдем \(a\) из первого уравнения:
\[a = 2x + 6 \quad \Rightarrow \quad 2x + 6\]

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение:
\[aq = x + 7\]
\[(2x + 6)q = x + 7\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[2xq + 6q = x + 7\]

Перенесем все слагаемые с \(x\) на одну сторону уравнения, а все слагаемые без \(x\) на другую:
\[2xq - x = 7 - 6q\]

Факторизуем \(x\) и вынесем его за скобки:
\[x(2q - 1) = 7 - 6q\]

Теперь нам нужно разделить обе стороны уравнения на коэффициент при \(x\) для получения значения \(x\):
\[x = \frac{7 - 6q}{2q - 1}\]

Подставим значение \(x\) в третье уравнение:
\[aq^2 = x + 4\]
\[(2x + 6)q^2 = x + 4\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[2xq^2 + 6q^2 = x + 4\]

Перенесем все слагаемые с \(x\) на одну сторону уравнения, а все слагаемые без \(x\) на другую:
\[2xq^2 - x = 4 - 6q^2\]

Факторизуем \(x\) и вынесем его за скобки:
\[x(2q^2 - 1) = 4 - 6q^2\]

Как и раньше, разделим обе стороны уравнения на коэффициент при \(x\):
\[x = \frac{4 - 6q^2}{2q^2 - 1}\]

Теперь мы имеем два выражения для \(x\):
\[x = \frac{7 - 6q}{2q - 1} \quad \text{и} \quad x = \frac{4 - 6q^2}{2q^2 - 1}\]

Решим эту систему уравнений и найдем значения \(x\), при которых выражения \(2x + 6\), \(x + 7\) и \(x + 4\) становятся последовательными членами геометрической прогрессии.