Как найти решение неравенства 5^4x - 6*5^2x + 5

Морской_Корабль_6614

64

Хорошо, давайте решим это неравенство.

Неравенство, которое нам нужно решить, выглядит следующим образом:

\[5^{4x} - 6 \cdot 5^{2x} + 5\]

Для удобства, давайте заменим \(5^{2x}\) на переменную \(y\). После этой замены, неравенство будет выглядеть так:

\[5^{2x} = y\]

Теперь мы получили следующее уравнение:

\[5^{2x} - 6y + 5\]

Давайте разберемся с этим уравнением.

Сначала рассмотрим член \(5^{2x}\). Мы заменили его на \(y\), поэтому у нас получается:

\[y^2 - 6y + 5\]

Затем, постараемся решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае, у нас \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = 5\), поэтому мы можем вычислить корни:

\[y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}\]

Теперь, вычислим эту формулу:

\[y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}\]

\[y = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}\]

\[y = \frac{6 \pm 4}{2}\]

Теперь мы получили два варианта для \(y\):

1. \(y_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5\)
2. \(y_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1\)

Так как мы заменили \(5^{2x}\) на \(y\), то теперь мы можем записать два варианта для \(5^{2x}\):

1. \(5^{2x} = 5\)
2. \(5^{2x} = 1\)

Теперь решим каждое из этих уравнений по отдельности.

1. \(5^{2x} = 5\)

Чтобы найти \(x\), нам нужно найти логарифм обоих частей уравнения по основанию 5:

\[\log_5(5^{2x}) = \log_5(5)\]

Используем свойство логарифмов \( \log_a b^c = c \log_a b \):

\[2x \log_5(5) = 1\]

Так как \(\log_5(5) = 1\), упростим уравнение:

\[2x \cdot 1 = 1\]

\[2x = 1\]

\[x = \frac{1}{2}\]

2. \(5^{2x} = 1\)

Снова применяем логарифм обоих частей уравнения:

\[\log_5(5^{2x}) = \log_5(1)\]

\[2x \log_5(5) = 0\]

Так как \(\log_5(5) = 1\), упростим уравнение:

\[2x \cdot 1 = 0\]

\[2x = 0\]

\[x = 0\]

Итак, получили два корня уравнения: \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = 0\).

Окончательный ответ: неравенство \(5^{4x} - 6 \cdot 5^{2x} + 5\) имеет два решения: \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = 0\).