1) Имеются следующие уравнения: 3) 2x2 – 5х + 9 = 0 4) 3х2 - 7х + 4 = 0. а) Определите количество корней каждого

Ivan

66

Хорошо! Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

а) Для начала выясним, сколько корней имеют данные уравнения.

Для этого нам понадобится использовать дискриминант \(D\), который считается по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В уравнении общего вида \(ax^2 + bx + c = 0\), коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно равны:

в первом уравнении: \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 9\);

во втором уравнении: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 4\).

Теперь подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта и посчитаем:

Для первого уравнения:

\[D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 25 - 72 = -47\]

Для второго уравнения:

\[D_2 = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1\]

b) Теперь, зная значения дискриминантов, мы можем определить количество корней у каждого из уравнений.

Если дискриминант \(D\) отрицательный (\(D < 0\)), то уравнение не имеет действительных корней.
Если дискриминант \(D\) равен нулю (\(D = 0\)), то уравнение имеет один действительный корень.
Если дискриминант \(D\) положительный (\(D > 0\)), то уравнение имеет два действительных корня.

Для первого уравнения \(D_1 = -47\), а так как \(D_1 < 0\), то это уравнение не имеет действительных корней.

Для второго уравнения \(D_2 = 1\), следовательно, он имеет два действительных корня.

Теперь решим второе уравнение для определения его корней:

Уравнение 4: \(3x^2 - 7x + 4 = 0\)

Для нахождения корней воспользуемся формулой:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов и дискриминанта в данную формулу и решим:

\[x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 1}{6}\]

Сокращаем дробь:

\[x_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\]

\[x_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1\]

Таким образом, второе уравнение имеет два действительных корня: \(x_1 = \frac{4}{3}\) и \(x_2 = 1\).