Как найти решение системы неравенств для неравенства x^2 - 3x - 10 > 0 и x^2 + 4x - 12

Юлия

35

Конечно! Давайте посмотрим, как найти решение данной системы неравенств.

Сначала давайте решим первое неравенство: \(x^2 - 3x - 10 > 0\).

1. Шаг: Найдем корни уравнения \(x^2 - 3x - 10 = 0\). Мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение для этого. Факторизация у нас не сработает, поэтому воспользуемся квадратным уравнением.

Для начала нужно найти дискриминант квадратного уравнения, который равен: \(\Delta = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - соответствующие коэффициенты в нашем уравнении.

В нашем случае у нас: \(a = 1\), \(b = -3\), и \(c = -10\).
Подставляя значения в формулу, получаем: \(\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\).

Дискриминант положительный, поэтому у нас есть два корня для этого уравнения.

2. Шаг: Найдем значения корней.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).

Подставляя значения, получаем: \(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 7}{2}\).

Разбиваем это на два отдельных выражения:
- \(x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5\)
- \(x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2\)

Теперь у нас есть два значения корней, \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -2\).

3. Шаг: Разобьем числовую ось на интервалы с использованием найденных корней.

Для этого нарисуем ось чисел и пометим точки на ней, соответствующие корням \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -2\):

-2 5

-----------
<-----|-----|----->

Также мы будем использовать кружочки для показания включения данной точки в решение, так как у нас неравенство "больше чем" (\(>\)).

4. Шаг: Анализируем интервалы и определяем знаки между корнями.

Теперь нам нужно определить знаки неравенства на каждом из интервалов используя проверочные точки:
- Возьмем точку \(х = 0\) и подставим в исходное неравенство.
\(0^2 - 3 \cdot 0 - 10 > 0\).
Получаем знак "меньше" в интервале между корнями -2 и 5.
- Возьмем точку \(х = 6\) и подставим в исходное неравенство.
\(6^2 - 3 \cdot 6 - 10 > 0\).
Получаем знак "больше" за пределами интервалов -2 и 5.

5. Шаг: Записываем ответ.

Итак, решение первого неравенства \(x^2 - 3x - 10 > 0\) это интервал \((-2, 5)\).

Теперь давайте перейдем ко второму неравенству: \(x^2 + 4x - 12 > 0\).

Процедура решения будет аналогичной первому неравенству.

1. Шаг: Найдем корни уравнения \(x^2 + 4x - 12 = 0\).
Найдем дискриминант:
\(\Delta = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\).

2. Шаг: Найдем значения корней:
\(x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6\)

3. Шаг: Разобьем числовую ось на интервалы:
-6 2

-----------
<-----|-----|----->

4. Шаг: Анализируем интервалы и определяем знаки:
- Проверим точку \(х = 0\): \(0^2 + 4 \cdot 0 - 12 > 0\). Получаем знак "меньше" для интервала между корнями.
- Проверим точку \(х = 3\): \(3^2 + 4 \cdot 3 - 12 > 0\). Получаем знак "больше" за пределами интервалов.

5. Шаг: Записываем ответ.

Решение второго неравенства \(x^2 + 4x - 12 > 0\) это интервал \((-6, 2)\).

Итак, решение системы неравенств \(\begin{cases} x^2 - 3x - 10 > 0 \\ x^2 + 4x - 12 > 0 \end{cases}\) это пересечение интервалов решений каждого неравенства:

Решение: \((-2, 2)\)