Как найти решение системы уравнений, где х^2-ху=-8 и у^2 - ху=24?

Bulka

53

Давайте начнем с решения системы уравнений. У нас есть два уравнения: \(x^2 - xy = -8\) и \(y^2 - xy = 24\).

1. Для начала, давайте решим первое уравнение. Уравнение \(x^2 - xy = -8\) можно переписать в виде \(x^2 - xy + 8 = 0\).

2. Теперь, давайте решим это уравнение с помощью метода замены переменной. Пусть \(z = x - y\).

3. Подставим это значение в уравнение: \((z+y)^2 - (z+y)y + 8 = 0\).

4. Раскроем скобки: \(z^2 + 2zy + y^2 - zy - y^2 + 8 = 0\).

5. Упростим уравнение: \(z^2 + y^2 + zy + 8 = 0\).

6. Теперь у нас есть уравнение относительно переменной \(z\). Давайте решим его, используя факторизацию.

7. Мы видим, что коэффициент при \(z^2\) равен 1, коэффициент при \(z\) равен 1, а свободный член равен 8. Давайте найдем два числа, сумма и произведение которых равны 1 и 8 соответственно. Эти числа -3 и -2.

8. Разложим уравнение на множители: \((z - 3)(z - 2) + y^2 + 8 = 0\).

9. Обратите внимание, что мы решаем систему уравнений, поэтому у нас есть два уравнения. Рассмотрим второе уравнение \(y^2 - xy = 24\).

10. Подставим значение \(z = x - y\) во второе уравнение: \((z+y)^2 - x(z+y) = 24\).

11. Раскроем скобки: \(z^2 + 2zy + y^2 - xz - xy = 24\).

12. Упростим уравнение: \(z^2 + y^2 + zy - xz - xy = 24\).

13. Обратите внимание, что у нас уже есть выражение \(z^2 + y^2 + zy\) из первого уравнения. Подставим его вместо этого выражения.

14. Получим новое уравнение: \((z - 3)(z - 2) - xz - xy = 24\).

15. Теперь у нас есть два уравнения: \((z - 3)(z - 2) + y^2 + 8 = 0\) и \((z - 3)(z - 2) - xz - xy = 24\).

16. Обратите внимание, что у нас есть общий множитель \((z - 3)(z - 2)\) в обоих уравнениях. Давайте выразим \(y^2\) и \(-xz - xy\) через это выражение.

17. Решим первое уравнение относительно \(y^2\): \(y^2 = -(z - 3)(z - 2) - 8\).

18. Решим второе уравнение относительно \(-xz - xy\): \(-xz - xy = -(z - 3)(z - 2) - 24\).

19. Обратите внимание, что оба уравнения имеют вид \(-p = -(z - 3)(z - 2) - c\), где \(p\) и \(c\) - некоторые числа.

20. Исходя из этого, мы можем сказать, что \(y^2 = -p\) и \(-xz - xy = -c\).

21. Теперь, чтобы найти значения \(x\) и \(y\), мы должны найти значения \(p\) и \(c\).

22. Для этого, посмотрите на уравнение \((z - 3)(z - 2) + y^2 + 8 = 0\). Мы знаем, что \(y^2 = -p\), так что это уравнение можно переписать в виде \((z - 3)(z - 2) - p + 8 = 0\).

23. Теперь мы видим, что \(z\) - это переменная, а \(p\) - некоторое число. Найдите значения \(z\), подставьте их в это уравнение и решите его относительно \(p\).

24. Аналогично с уравнением \((z - 3)(z - 2) - xz - xy = 24\). Мы знаем, что \(-xz - xy = -c\), так что можно переписать это уравнение в виде \((z - 3)(z - 2) - c = 24\).

25. Теперь мы видим, что \(z\) - это переменная, а \(c\) - некоторое число. Найдите значения \(z\), подставьте их в это уравнение и решите его относительно \(c\).

26. После того как вы найдете значения \(p\) и \(c\), подставьте их обратно в уравнения \(y^2 = -p\) и \(-xz - xy = -c\) соответственно.

27. Теперь у вас есть значения \(y^2\) и \(-xz - xy\), относящиеся к значениям \(x\) и \(y\). Решите эти уравнения относительно \(x\) и \(y\), чтобы получить окончательные значения переменных.