Как найти решение уравнения 2sin(x+pi/4)=tgx+ctgx?

Подсолнух

13

Хорошо! Давайте разберемся, как решить данное уравнение. Нам нужно найти все значения переменной \(x\), при которых это уравнение будет выполняться. Для начала, давайте приведем уравнение к более удобному виду.

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы сделать это. Для упрощения уравнения, давайте выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

\[\tan(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}} \quad \text{и} \quad \cot(x) = \frac{{\cos(x)}}{{\sin(x)}}\]

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[2\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \tan(x) + \cot(x)\]

Для дальнейшего решения давайте введём новую переменную \(t = \sin(x)\). Тогда значение \(\cos(x)\) можно выразить как \(\cos(x) = \sqrt{1 - t^2}\).

Теперь подставим значения \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) в уравнение:

\[2\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\]

Подставим новые значения \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) в левую часть уравнения:

\[2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)\right) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\]

Домножим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[2\sin(x) + 2\cos(x) = \sqrt{2}\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)\]

Упростим правую часть уравнения:

\[2\sin(x) + 2\cos(x) = \sqrt{2}\left(\frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}\right)\]

Теперь мы можем заметить, что \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[2\sin(x) + 2\cos(x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\right)\]

Домножим обе части уравнения на \(\sin(x)\cos(x)\):

\[2\sin(x)\cos(x) + 2\cos^2(x)\sin(x) = \sqrt{2}\]

Теперь объединим слагаемые и сгруппируем их:

\[2\sin(x)\cos(x)(1 + \cos(x)) = \sqrt{2}\]

Теперь у нас есть уравнение в одной переменной \(\cos(x)\). Мы можем решить его и найти значения \(\cos(x)\):

\[2\sin(x)\cos(x) = \sqrt{2} - 2\cos^2(x)\sin(x)\]

Разделим обе части уравнения на \(\sin(x)\cos(x)\):

\[2 = \frac{\sqrt{2}}{\sin(x)\cos(x)} - 2\cos(x)\sin(x)\]

Теперь мы можем заметить, что \(\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\):

\[2 = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sin(2x)} - 2\cos(x)\sin(x)\]

Упростим правую часть уравнения:

\[2 = 2\sqrt{2}\csc(2x) - 2\cos(x)\sin(x)\]

Теперь давайте упростим и перепишем исходное уравнение:

\[2\sqrt{2}\csc(2x) - 2\cos(x)\sin(x) = 2\]

Разделим все слагаемые на 2:

\[\sqrt{2}\csc(2x) - \cos(x)\sin(x) = 1\]

Теперь давайте рассмотрим правую часть уравнения. Мы можем записать следующее: \(\cos(x)\sin(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\).

Подставим это значение в уравнение:

\[\sqrt{2}\csc(2x) - \frac{1}{2}\sin(2x) = 1\]

Теперь давайте введем новую переменную \(t = \sin(2x)\). Тогда значение \(\csc(2x)\) можно выразить как \(\csc(2x) = \frac{1}{t}\).

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[\sqrt{2}\frac{1}{t} - \frac{1}{2}t = 1\]

Умножим обе части уравнения на \(2t\):

\[2\sqrt{2} - t^2 = 2t\]

Теперь перепишем уравнение в квадратном виде:

\[t^2 + 2t - 2\sqrt{2} = 0\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = 2\), и \(c = -2\sqrt{2}\), чтобы найти значения переменной \(t\).

Применяя формулу дискриминанта (\(D = b^2 - 4ac\)) и формулы для нахождения корней (\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)), мы можем найти значения переменной \(t\). Выждите немного, я сейчас это вычислю.