Как найти решение уравнения 4*25^(x+0.5)-60*5^x-1)+1=0?

Сумасшедший_Рейнджер

14

Хорошо, давайте разберемся вместе с решением этого уравнения.

У нас есть следующее уравнение:
\[4 \cdot 25^{x+0.5} - 60 \cdot 5^x - 1 + 1 = 0\]

Давайте начнем с упрощения уравнения:
\[4 \cdot 25^{x+0.5} - 60 \cdot 5^x = 0\]

Мы можем заметить, что 25 можно представить в виде \(5^2\) и 5 можно представить в виде \(5^1\). Воспользуемся этими заменами:
\[4 \cdot (5^2)^{x+0.5} - 60 \cdot (5^1)^x = 0\]

Теперь мы можем применить свойства степеней, умножив показатели степени:
\[4 \cdot 5^{2(x+0.5)} - 60 \cdot 5^x = 0\]

Чтобы решить это уравнение, давайте введем временную переменную, например, пусть \(u = 5^x\). Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:
\[4 \cdot 5^2 \cdot 5^{0.5} \cdot u - 60 \cdot u = 0\]

Мы знаем, что \(5^2\) равно 25 и \(5^{0.5}\) равно \(\sqrt{5}\), поэтому уравнение примет вид:
\[100 \cdot \sqrt{5} \cdot u - 60 \cdot u = 0\]

Теперь давайте сгруппируем переменную \(u\):
\[(100 \cdot \sqrt{5} - 60) \cdot u = 0\]

Мы приходим к двум возможным случаям:
1. \(100 \cdot \sqrt{5} - 60 = 0\)
2. \(u = 0\)

Рассмотрим первый случай:
\[100 \cdot \sqrt{5} - 60 = 0\]

Чтобы найти значение корня \(\sqrt{5}\), мы делим обе стороны уравнения на 100:
\[\sqrt{5} = \frac{60}{100} = 0.6\]

Теперь оценим второй случай, когда \(u = 0\). Значение переменной \(u\) равное 0, не изменит исходного уравнения, так как весь первый член будет равен 0.

Подведем итоги:
Уравнение \(4 \cdot 25^{x+0.5} - 60 \cdot 5^x - 1 + 1 = 0\) имеет два возможных решения:
1. \(x = \log_5(0.6) - 0.5\) (решение, полученное из первого случая)
2. Любое значение \(x\), когда \(u = 5^x = 0\) (решение, полученное из второго случая)

Мы рассмотрели разные свойства степеней и применили замену переменной, чтобы получить это решение. Если у вас возникли дополнительные вопросы или вам нужна дальнейшая помощь, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.