Найдите решение следующего уравнения: 3х + 4 / х² - 16 = х² / х²

Ястреб_9850

8

Давайте решим данное уравнение поэтапно.

Шаг 1: Приведение уравнения к общему знаменателю.

Для начала, умножим обе части уравнения на \(х^2\) для того чтобы избавиться от знаменателей в уравнении.

После умножения, уравнение примет следующий вид:

\[3х*х² + \dfrac{4}{х²} * х² - \dfrac{16}{х²} * х² = \dfrac{х²}{х²} * х²\]

\[3х³ + 4 - 16 = х²\]

Теперь наше уравнение выглядит проще.

Шаг 2: Перенос всех членов уравнения в одну сторону и приведение подобных слагаемых.

Вычитаем \(х²\) с обеих сторон уравнения:

\[3х³ + 4 - 16 - х² = х² - х²\]

Упрощаем выражение:

\[3х³ - х² - 12 = 0\]

Теперь у нас есть уравнение третьей степени.

Шаг 3: Факторизация уравнения третьей степени.

Мы заметим, что уравнение не имеет вид \(ax³ + bx² + cx + d = 0\). Поэтому, нам придется использовать другой метод для решения.

При помощи полного перебора, мы находим, что \(x = -2\) является одним из корней уравнения.

Теперь мы можем разделить уравнение на соответствующий линейный множитель \(x + 2\):

\[(x + 2)(3x² - 9x + 6)=0\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\(x + 2 = 0\) и \(3x² - 9x + 6 = 0\)

Шаг 4: Решение получившихся уравнений.

Решим первое уравнение:

\(x + 2 = 0\)

Вычитаем 2 с обеих сторон:

\(x = -2\)

Первый корень уравнения найден.

Теперь решим второе уравнение:

\(3x² - 9x + 6 = 0\)

Для удобства, делим все слагаемые на 3:

\(x² - 3x + 2 = 0\)

Разложим уравнение на множители:

\((x - 1)(x - 2) = 0\)

Теперь у нас есть два возможных значения для \(х\):

Решим первое уравнение:

\(x - 1 = 0\)

\(x = 1\)

Решим второе уравнение:

\(x - 2 = 0\)

\(x = 2\)

В результате, у нас есть три решения для данного уравнения: \(x = -2\), \(x = 1\) и \(x = 2\).

Итак, решение данного уравнения: \(x = -2\), \(x = 1\) и \(x = 2\).