Как найти решение уравнения (a²-4)x²+(6a+12)x+3a+6=0?

Druzhische

12

Хорошо, решим это уравнение пошагово.

Шаг 1: Приведение уравнения к каноническому виду
Для начала, давайте приведем уравнение к каноническому виду, то есть квадратное уравнение, где коэффициент перед \(x^2\) равен 1. Чтобы сделать это, мы разделим все коэффициенты на коэффициент перед \(x^2\).

Таким образом, у нас будет:
\[(a^2-4)x^2 + (6a+12)x + (3a+6) = 0\]
Делим каждый член на \(a^2-4\) и получаем:
\[x^2 + \frac{{6a+12}}{{a^2-4}}x + \frac{{3a+6}}{{a^2-4}} = 0\]

Шаг 2: Разложение второго слагаемого
Теперь, чтобы упростить второе слагаемое, давайте разложим его на две дроби. Мы рассматриваем \(\frac{{6a+12}}{{a^2-4}}\).

Дробь \(\frac{{6a+12}}{{a^2-4}}\) можно разделить на две дроби следующим образом:
\[\frac{{6a+12}}{{a^2-4}} = \frac{{A}}{{a-2}} + \frac{{B}}{{a+2}}\]

Раскрываем правую часть уравнения:
\[(a-2)(a+2) = A(a+2) + B(a-2)\]
Раскрываем скобки:
\[a^2 - 4 = Aa + 2A + Ba - 2B\]
Собираем коэффициенты перед одинаковыми степенями \(a\):
\[a^2 - 4 = (A + B)a + (2A - 2B)\]
Сравниваем коэффициенты:
\[A + B = 0\]
\[2A - 2B = -4\]

Решая эти уравнения, мы получаем, что \(A = -1\) и \(B = 1\).

Таким образом, \(\frac{{6a+12}}{{a^2-4}} = \frac{{-1}}{{a-2}} + \frac{{1}}{{a+2}}\).

Шаг 3: Замена уравнения
Теперь заменим второе слагаемое в исходном уравнении на полученные дроби:
\[x^2 + \frac{{-1}}{{a-2}} + \frac{{1}}{{a+2}} + \frac{{3a+6}}{{a^2-4}} = 0\]

Шаг 4: Разложение третьего слагаемого
Аналогично разложим третье слагаемое \(\frac{{3a+6}}{{a^2-4}}\) на две дроби.

\(\frac{{3a+6}}{{a^2-4}} = \frac{{C}}{{a-2}} + \frac{{D}}{{a+2}}\)

Раскрываем уравнение:
\[(a-2)(a+2) = C(a+2) + D(a-2)\]
Раскрываем скобки:
\[a^2 - 4 = Ca + 2C + Da - 2D\]
Собираем коэффициенты перед одинаковыми степенями \(a\):
\[a^2 - 4 = (C + D)a + (2C - 2D)\]
Сравниваем коэффициенты:
\[C + D = 0\]
\[2C - 2D = -4\]

Решая эти уравнения, мы получаем, что \(C = 1\) и \(D = -1\).

Таким образом, \(\frac{{3a+6}}{{a^2-4}} = \frac{{1}}{{a-2}} - \frac{{1}}{{a+2}}\).

Шаг 5: Замена уравнения
Заменим третье слагаемое в исходном уравнении на полученные дроби:
\[x^2 + \frac{{-1}}{{a-2}} + \frac{{1}}{{a+2}} + \frac{{1}}{{a-2}} - \frac{{1}}{{a+2}} = 0\]

Шаг 6: Группировка и сокращение
Сократим дроби на основе общего знаменателя:
\[x^2 + \frac{{-1 + 1}}{{a-2}} + \frac{{1 - 1}}{{a+2}} = 0\]

Суммируем числители второго и третьего слагаемых:
\[x^2 + \frac{{0}}{{a-2}} + \frac{{0}}{{a+2}} = 0\]

Шаг 7: Упрощение уравнения
Избавимся от слагаемых с нулевыми числителями:
\[x^2 = 0\]

Шаг 8: Нахождение решения
Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
\[x = \pm \sqrt{0}\]

Так как квадратный корень из нуля равен нулю, получаем:
\[x = 0\]

Итак, решение уравнения (a²-4)x²+(6a+12)x+3a+6=0 равно \(x = 0\).