Какова обратная функция для функции y=-x²+4x-6 с областью определения D(y) = [2;+∞)?

Saveliy_1795

38

Для того чтобы найти обратную функцию для функции \(y = -x^2 + 4x - 6\) с заданной областью определения \(D(y) = [2;+\infty)\), нам необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Заменить \(y\) на \(x\) и \(x\) на \(y\) в исходной функции:
\[x = -y^2 + 4y - 6\]

Шаг 2: Решить полученное уравнение относительно \(y\). Для этого приведем его к квадратному уравнению:
\[y^2 - 4y + 6 = -x\]

Шаг 3: Чтобы решить квадратное уравнение, мы можем применить метод завершения квадрата или использовать квадратное уравнение в общем виде.
\begin{align*}
y^2 - 4y + 6 + x &= 0 \\
\left( y - 2 \right)^2 - 4 + 6 + x &= 0 \\
\left( y - 2 \right)^2 &= -x - 2 \\
y - 2 &= \pm \sqrt{-x - 2} \\
y &= 2 \pm \sqrt{-x - 2}
\end{align*}

Шаг 4: Как выглядит результат. Итак, обратная функция для \(y = -x^2 + 4x - 6\) с областью определения \(D(y) = [2;+\infty)\) будет:
\[f^{-1}(x) = 2 \pm \sqrt{-x - 2}\]

Обратная функция будет определена, только если аргумент \(x\) удовлетворяет условию \(-x - 2 \geq 0\), то есть значения \(x\) должны быть меньше или равными -2.