Как найти решение уравнения C^3_n = (4/15) C^4_n?

Polosatik

39

Для решения данного уравнения, нам необходимо найти значение переменной \( n \). Я покажу пошаговое решение этой задачи.

Шаг 1: Начнем с раскрытия степеней бинома на левой стороне уравнения \( C^3_n \). Согласно формуле бинома Ньютона, имеем:

\[ C^3_n = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} \]

Шаг 2: Теперь раскроем степень бинома на правой стороне уравнения \( C^4_n \):

\[ C^4_n = \frac{n!}{4!(n-4)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \]

Шаг 3: Подставим значения \( C^3_n \) и \( C^4_n \) в исходное уравнение:

\[ \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{4}{15} \cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \]

Шаг 4: Упростим выражение, сократив общие множители:

\[ \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} = \frac{4}{15} \cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} \]

Шаг 5: После сокращения общих множителей уравнение примет вид:

\[ \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \]

Шаг 6: Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 24:

\[ 24 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 24 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \]

Шаг 7: После упрощения, получим:

\[ 4n(n-1)(n-2) = n(n-1)(n-2)(n-3) \]

Шаг 8: Раскроем скобки и сократим общие множители:

\[ 4n(n-1)(n-2) = n(n-1)(n-2)(n-3) \]
\[ 4 = n-3 \]
\[ n = 7 \]

Таким образом, решением данного уравнения \( C^3_n = \frac{4}{15} C^4_n \) является \( n = 7 \).