Как найти решение уравнения Z^2-(4+3i)z+1+5i=0, используя комплексные числа?

Магнитный_Магнат

54

Для решения данного уравнения мы воспользуемся методом "Комплексный целитель". Для начала представим неизвестное число z в виде z = a + bi, где a - вещественная часть, а b - мнимая часть.

Подставим это представление в наше уравнение и проведем необходимые вычисления:

(a + bi)^2 - (4 + 3i)(a + bi) + 1 + 5i = 0

Раскроем скобки:

a^2 + 2abi - b^2 - (4a + 3ai + 4bi + 3bi) + 1 + 5i = 0

Сгруппируем слагаемые с вещественными и мнимыми частями:

(a^2 - b^2 - 4a - 3b + 1) + (2ab - 4b - 3a + 5)i = 0

Поскольку это уравнение равно нулю, вещественная и мнимая части должны быть равны нулю отдельно:

a^2 - b^2 - 4a - 3b + 1 = 0 (1)
2ab - 4b - 3a + 5 = 0 (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Для этого можно использовать метод подстановки или метод приведения к квадратному уравнению.

Давайте начнем с уравнения (1):

a^2 - b^2 - 4a - 3b + 1 = 0

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

a^2 - 4a - b^2 - 3b + 1 = 0

Преобразуем эту квадратичную функцию:

(a^2 - 4a) - (b^2 + 3b) + 1 = 0

Сгруппируем слагаемые:

a^2 - 4a + (-b^2 - 3b + 1) = 0

Попытаемся выразить левую часть в виде квадрата бинома:

(a - 2)^2 - 4 + (-b^2 - 3b + 1) = 0

(a - 2)^2 - 4 - b^2 - 3b + 1 = 0

(a - 2)^2 - b^2 - 3b - 3 = 0

(a - 2)^2 - (b^2 + 3b + 3) = 0

Теперь давайте рассмотрим уравнение (2):

2ab - 4b - 3a + 5 = 0

Мы можем использовать уравнение (1), чтобы выразить одну переменную через другую:

a = (b^2 + 3b + 3)/(a - 2)^2

Подставим это выражение для a в уравнение (2):

2b(b^2 + 3b + 3)/(a - 2)^2 - 4b - 3((b^2 + 3b + 3)/(a - 2)^2) + 5 = 0

Упростим это уравнение, умножив каждое слагаемое на (a - 2)^2:

2b(b^2 + 3b + 3) - 4b(a - 2)^2 - 3(b^2 + 3b + 3) + 5(a - 2)^2 = 0

Раскроем скобки:

2b^3 + 6b^2 + 6b - 4ba^2 + 16b - 4b + 6 - 3b^2 - 9b - 9 + 5a^2 - 20a + 20 = 0

Сгруппируем слагаемые:

2b^3 + (6 - 4a)b^2 + (16 - 4a - 3)b + (5a^2 - 20a + 17) = 0

Теперь, имея это кубическое уравнение, мы можем решить его при помощи методов решения кубических уравнений, например, приближенного метода Ньютона или метода Кардано.

Таким образом, решение задачи сводится к решению системы уравнений (1) и (2), а затем к решению полученного кубического уравнения второго порядка.

Надеюсь, это объяснение было достаточно подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.