Как найти тангенс угла между плоскостью АВС и плоскостью, которая проходит через точку B и является перпендикулярной
Как найти тангенс угла между плоскостью АВС и плоскостью, которая проходит через точку B и является перпендикулярной прямой AK, если известны длины ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (AA1=5, AB=12, AD=8)? Пожалуйста, предоставьте подробное решение.
Zolotoy_Korol 42
Чтобы найти тангенс угла между плоскостью АВС и плоскостью, которая проходит через точку B и является перпендикулярной прямой АК, нам необходимо выполнить следующие шаги:1. Найдите векторное произведение векторов AB и AD, чтобы найти нормальный вектор плоскости АВС.
2. Найдите нормальный вектор плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой АК.
3. Найдите скалярное произведение нормальных векторов, найденных в шагах 1 и 2.
4. Разделите результат шага 3 на произведение длин векторов AB и AD, чтобы найти тангенс угла между плоскостями.
Давайте выполним каждый шаг подробно.
Шаг 1: Найдите нормальный вектор плоскости АВС.
Для этого возьмем векторное произведение векторов AB и AD:
\[ \vec{AB} \times \vec{AD} = (12, 0, 0) \times (0, 0, 8) = (0, 96, 0) \]
Таким образом, нормальный вектор плоскости АВС равен (0, 96, 0).
Шаг 2: Найдите нормальный вектор плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой АК.
Чтобы найти нормальный вектор для этой плоскости, мы используем направляющий вектор прямой АК, который можно получить как разность векторов AK и BK:
\[ \vec{AK} = (0, 0, 0) - (12, 0, 0) = (-12, 0, 0) \]
\[ \vec{BK} = (0, 0, 0) - (12, 0, 8) = (-12, 0, -8) \]
\[ \vec{AK} - \vec{BK} = (-12, 0, 0) - (-12, 0, -8) = (0, 0, 8) \]
Таким образом, направляющий вектор прямой АК равен (0, 0, 8), а его нормальный вектор будет равен (0, 0, -8) для плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой АК.
Шаг 3: Найдите скалярное произведение нормальных векторов.
Вычислим скалярное произведение нормальных векторов из шагов 1 и 2:
\[ (0, 96, 0) \cdot (0, 0, -8) = 0 \cdot 0 + 96 \cdot 0 + 0 \cdot (-8) = 0 \]
Шаг 4: Найдите тангенс угла между плоскостями.
Тангенс угла между плоскостями определяется как отношение скалярного произведения нормальных векторов к произведению длин векторов AB и AD:
\[ \tan(\theta) = \frac{{\vec{AB} \times \vec{AD} \cdot \vec{0, 0, -8}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}|}} = \frac{0}{{12 \cdot 8}} = 0 \]
Таким образом, тангенс угла между плоскостью АВС и плоскостью, которая проходит через точку B и перпендикулярна прямой АК, равен 0.
Надеюсь, это подробное решение помогло вам! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.