Как найти угол между векторами, исходя из данных точек А(3;-1) В(4;1) С(2;0) и D (3;1)?

David

28

Чтобы найти угол между векторами, исходя из данных точек, мы можем использовать следующую формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}}\]

где \(\theta\) - искомый угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\), \(\vec{AB}\) - вектор, направленный от точки A к точке B, \(\vec{CD}\) - вектор, направленный от точки C к точке D, \(\cdot\) - означает скалярное произведение векторов, и \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{CD}|\) - длины этих векторов.

Поэтому, чтобы решить задачу и найти угол, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Вычислите вектор \(\vec{AB}\), используя координаты точек A и B:
\(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)

Подставим значения точек:
\(\vec{AB} = (4 - 3, 1 - (-1)) = (1, 2)\)

2. Вычислите вектор \(\vec{CD}\), используя координаты точек C и D:
\(\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C)\)

Подставим значения точек:
\(\vec{CD} = (3 - 2, 1 - 0) = (1, 1)\)

3. Вычислите длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):
\(|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 2^2}\)
\(|\vec{CD}| = \sqrt{1^2 + 1^2}\)

Расчет:
\(|\vec{AB}| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)
\(|\vec{CD}| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)

4. Вычислите скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\):
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1 \cdot 1) + (2 \cdot 1)\)

Расчет:
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 + 2 = 3\)

5. Подставьте значения в формулу \(\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}}\):
\(\cos(\theta) = \frac{3}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}}\)

Сократите корни:
\(\cos(\theta) = \frac{3}{{\sqrt{10}}}\)

6. Найдите значение угла \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса:
\(\theta = \arccos\left(\frac{3}{{\sqrt{10}}}\right)\)

Вычислите приближенное значение угла с помощью калькулятора или таблицы тригонометрических функций.

Таким образом, после выполнения всех этих шагов, мы найдем приближенное значение угла \(\theta\) между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\).