Как найти угол треугольника ABC с вершинами A(2,4), B(2,8) и C(6,4)?

Muravey

4

Чтобы найти угол треугольника ABC, мы можем использовать формулу для нахождения угла между векторами. Для этого нам понадобятся координаты вершин треугольника.

1. Найдем вектор AB, соединяющий точки A(2,4) и B(2,8):

\(\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (2 - 2, 8 - 4) = (0, 4)\)

2. Найдем вектор BC, соединяющий точки B(2,8) и C(6,4):

\(\overrightarrow{BC} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (6 - 2, 4 - 8) = (4, -4)\)

3. Теперь найдем угол между векторами AB и BC с помощью формулы:

\(\cos{\theta} = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}}\)

Где \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\) - скалярное произведение векторов, а \(|\overrightarrow{AB}|\) и \(|\overrightarrow{BC}|\) - длины соответствующих векторов.

4. Найдем скалярное произведение векторов AB и BC:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (0 \cdot 4) + (4 \cdot -4) = 0 + (-16) = -16\)

5. Теперь найдем длины векторов AB и BC:

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(0^2 + 4^2)} = \sqrt{16} = 4\)

\(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(4^2 + (-4)^2)} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

6. Подставим значения в формулу для нахождения косинуса угла:

\(\cos{\theta} = \frac{-16}{4 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{-4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}\)

7. Найдем значение угла:

\(\theta = \arccos{(-2\sqrt{2})}\)

Вычисляем это значение с помощью калькулятора: \(\theta \approx 135^\circ\)

Таким образом, угол треугольника ABC, образованный сторонами AB и BC, равен примерно \(135^\circ\).