Какой тангенс образует плоскость, проходящая через вершины А и В, и точку Р, делящую ребро DD1 в отношении 2:1
Какой тангенс образует плоскость, проходящая через вершины А и В, и точку Р, делящую ребро DD1 в отношении 2:1, с плоскостью основания правильной шестиугольной призмы ABCDEFА1В1С1D1E1F1?
Olga_9854 33
Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.Шаг 1: Найдем координаты вершин А, В и Р в трехмерном пространстве. Для начала, давайте обозначим основание правильной шестиугольной призмы ABCDEFА1В1С1D1E1F1. Пусть точка A имеет координаты (x1, y1, z1), точка B - (x2, y2, z2), и точка D - (x3, y3, z3). Кроме того, мы знаем, что точка P делит ребро DD1 в отношении 2:1. Значит, координаты точки P можно найти, используя формулу:
\[P = \left(\frac{{2x_3 + x_{D1}}}{3}, \frac{{2y_3 + y_{D1}}}{3}, \frac{{2z_3 + z_{D1}}}{3}\right)\]
Шаг 2: Теперь мы можем найти векторы \(\overrightarrow{A}\overrightarrow{P}\) и \(\overrightarrow{B}\overrightarrow{P}\). Для этого возьмем разности координат:
\[\overrightarrow{A}\overrightarrow{P} = \left(\frac{{2x_3 + x_{D1}}}{3} - x_1, \frac{{2y_3 + y_{D1}}}{3} - y_1, \frac{{2z_3 + z_{D1}}}{3} - z_1\right)\]
\[\overrightarrow{B}\overrightarrow{P} = \left(\frac{{2x_3 + x_{D1}}}{3} - x_2, \frac{{2y_3 + y_{D1}}}{3} - y_2, \frac{{2z_3 + z_{D1}}}{3} - z_2\right)\]
Шаг 3: Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{A}\overrightarrow{P}\) и \(\overrightarrow{B}\overrightarrow{P}\):
\[\overrightarrow{A}\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{B}\overrightarrow{P} = \left(\frac{{2x_3 + x_{D1}}}{3} - x_1\right) \cdot \left(\frac{{2x_3 + x_{D1}}}{3} - x_2\right) + \left(\frac{{2y_3 + y_{D1}}}{3} - y_1\right) \cdot \left(\frac{{2y_3 + y_{D1}}}{3} - y_2\right) + \left(\frac{{2z_3 + z_{D1}}}{3} - z_1\right) \cdot \left(\frac{{2z_3 + z_{D1}}}{3} - z_2\right)\]
Шаг 4: Наконец, чтобы найти тангенс угла, образованного плоскостью, проходящей через вершины А и В, и точку Р, мы можем использовать формулу:
\[ \tan(\angle APB) = \left| \frac{{\overrightarrow{A}\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{B}\overrightarrow{P}}}{{\left|\left|\overrightarrow{A}\overrightarrow{P}\right|\right| \cdot \left|\left|\overrightarrow{B}\overrightarrow{P}\right|\right|}} \right|\]
Таким образом, мы можем найти тангенс угла, образованного плоскостью, проходящей через вершины А и В, и точку Р, делящую ребро DD1 в отношении 2:1, с плоскостью основания правильной шестиугольной призмы ABCDEFА1В1С1D1E1F1.