Как найти векторное произведение векторов a, b и c = 3i+4j+k, i-2j+7k и 3i-6j+21k?

Летающая_Жирафа_1734

39

Для того чтобы найти векторное произведение векторов \(a\), \(b\) и \(c\), нам необходимо использовать правило с использованием определителя. Векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве дает новый вектор, перпендикулярный плоскости, образованной этими векторами. Поскольку векторное произведение - это вектор, он может быть представлен как сумма компонентов \(i\), \(j\) и \(k\).

Для начала, составим матрицу из координат векторов \(a\), \(b\) и \(c\):

\[
\begin{bmatrix}
3 & 4 & 1 \\
1 & -2 & 7 \\
3 & -6 & 21 \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь, раскроем определитель этой матрицы и вычислим его:

\[
\begin{aligned}
\mathbf{c} &= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & 4 & 1 \\
1 & -2 & 7 \\
3 & -6 & 21 \\
\end{vmatrix} \\
&= (\mathbf{i} \cdot (4(21) - (-6)(7))) - (\mathbf{j} \cdot (3(21) - (-6)(1))) + (\mathbf{k} \cdot (3(-2) - 1(3))) \\
&= \mathbf{i} \cdot (84 + 42) - \mathbf{j} \cdot (63 + 6) + \mathbf{k} \cdot (-6 - 3) \\
&= \mathbf{i} \cdot 126 - \mathbf{j} \cdot 69 + \mathbf{k} \cdot -9 \\
&= 126\mathbf{i} - 69\mathbf{j} - 9\mathbf{k} \\
\end{aligned}
\]

Таким образом, векторное произведение векторов \(a\), \(b\) и \(c\) равно \(126\mathbf{i} - 69\mathbf{j} - 9\mathbf{k}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что векторное произведение является вектором и представлено в компонентной форме с использованием символов \(i\), \(j\) и \(k\). Ответ в данном случае не содержит физических единиц, так как вопрос касается только математической операции.