В классе 9 мальчиков и 10 девочек. На каждый из 5 вопросов, заданных учителем, ответил по одному ученику. Какова

Михайловна

47

Для решения этой задачи нам понадобится комбинаторика и вероятность. Первым шагом определим общее количество способов выбрать 5 учеников из 19 (9 мальчиков и 10 девочек). Для этого воспользуемся формулой сочетаний:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(C_n^k\) обозначает число сочетаний из n по k, а \(n!\) (читается как "n факториал") означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Применяя формулу сочетаний к нашей задаче, получим:

\[C_{19}^5 = \frac{19!}{5!(19-5)!} = \frac{19!}{5!14!}\]

Теперь посчитаем количество способов выбрать 3 мальчика из 9:

\[C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!}\]

И количество способов выбрать 2 девочки из 10:

\[C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!}\]

Остается поделить количество способов выбрать 3 мальчика и 2 девочки на общее количество способов выбрать 5 учеников:

\[P = \frac{{C_9^3 \cdot C_{10}^2}}{{C_{19}^5}}\]

Посчитаем значения:

\[P = \frac{{\frac{9!}{3!(9-3)!} \cdot \frac{10!}{2!(10-2)!}}}{{\frac{19!}{5!(19-5)!}}}\]

\[P = \frac{{\frac{9!}{3! \cdot 6!} \cdot \frac{10!}{2! \cdot 8!}}}{{\frac{19!}{5! \cdot 14!}}}\]

\[P = \frac{{\frac{9!}{6!} \cdot \frac{10!}{2! \cdot 8!}}}{{\frac{19!}{5! \cdot 14!}}}\]

\[P = \frac{{\frac{(9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}{(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} \cdot \frac{(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}{(2 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}}{{\frac{(19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}{(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}}\]

\[P = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}}\]

\[P \approx 0.011\]

Таким образом, вероятность того, что среди отвечающих было 3 мальчика и 2 девочки, составляет около 0.011 (округлено до трех десятичных знаков).