Как найти значение выражения tg30°+tg40°+tg50°+tg60°, используя равенство 8cos20°√3?

Черепаха

17

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.
Сначала вспомним определение тангенса (tg) как отношение сторон прямоугольного треугольника. В данном случае нам дано значение выражения 8cos20°√3.

Шаг 1: Выразим tg30° через данное значение.
Помним, что tg30° = sin30° / cos30°.
Так как sin30° = 1/2, а cos30° = √3/2 (учитывая треугольник со сторонами 1, 1/2 и √3/2), тогда tg30° = (1/2) / (√3/2) = 1/√3.
Имеем первое слагаемое в выражении - 1/√3.

Шаг 2: Выразим tg40° через данное значение.
Помним, что tg40° = sin40° / cos40°.
Вычислив значение sin40° и cos40°, мы получим tg40°.
Однако, в данном случае нам дано выражение 8cos20°√3, которое имеет более простую формулу.
Воспользуемся тригонометрической формулой для cos(2α): cos(2α) = 2cos^2(α) - 1.
Для α = 20° получим: cos(40°) = cos(2 * 20°) = 2cos^2(20°) - 1.
Также у нас есть равенство 8cos20°√3.
Подставим значения в формулу: 8cos20°√3 = 2cos^2(20°) - 1.
Решим полученное уравнение относительно cos20°.

Перенесем все слагаемые влево и распишем квадрат:
2cos^2(20°) - cos(40°) + 1 = 0.
2cos^2(20°) - 2cos^2(20°) + 1 - cos(40°) = 0.
-cos(40°) + 1 = 0.
-cos(40°) = -1.
cos(40°) = 1.

Таким образом, мы нашли значение cos(40°) - это 1.

Шаг 3: Выразим tg40° через полученное значение cos(40°).
Так как мы знаем, что tg40° = sin40° / cos40°, то нам нужно найти значение sin40°.
Применим тригонометрическую формулу: sin^2(α) + cos^2(α) = 1.
Заметим, что cosine имеет значение 1 из предыдущего шага.
Тогда получаем: sin^2(40°) + 1 = 1.
sin^2(40°) = 0.
Таким образом, sin(40°) = 0.
Следовательно, tg40° = sin40° / cos40° = 0 / 1 = 0.
Таким образом, второе слагаемое в выражении равно 0.

Шаг 4: Выразим tg50° через значение выражения.
Заметим, что 50° = 30° + 20°.
Используя тригонометрическую формулу для суммы tg, получим:
tg50° = (tg30° + tg20°) / (1 - tg30° * tg20°).

Мы уже нашли tg30° = 1/√3 в первом шаге.
Чтобы найти tg20°, воспользуемся определением tg: tg20° = sin20° / cos20°.

Шаг 4.1: Найдем cos20°.
Используем тригонометрическую формулу cos(α) = ±√(1 - sin^2(α)).
Значение sin20° по определению равно 1/2.
Тогда cos20° = ±√(1 - (1/2)^2) = ±√(1 - 1/4) = ±√(3/4) = ±√3/2.

Шаг 4.2: Определим знак.
Учитывая, что угол 20° лежит в 1-ой четверти, где cos является положительным, мы можем взять положительное значение cos20° = √3/2.

Шаг 4.3: Найдем tg20°.
Теперь, когда у нас есть значения sin20° и cos20°, мы можем найти tg20°.
tg20° = sin20° / cos20° = (1/2) / (√3/2) = 1/√3.

Шаг 4.4: Найдем tg50°.
Используя формулу для суммы tg, подставим значения tg30° = 1/√3 и tg20° = 1/√3:
tg50° = (1/√3 + 1/√3) / (1 - (1/√3) * (1/√3))
= (2/√3) / (1 - 1/3)
= (2/√3) / (2/3)
= (2/√3) * (3/2)
= 3/√3.

Таким образом, третье слагаемое в выражении равно 3/√3.

Шаг 5: Выразим tg60° через значение выражения.
Мы знаем, что tg60° = √3.

Возьмем полученные значения и подставим в исходное выражение: tg30° + tg40° + tg50° + tg60°.
Подставим значения из предыдущих шагов:

1/√3 + 0 + 3/√3 + √3.

Для удобства, объединим дроби: (1 + 3) / √3 + √3.

Результат: 4/√3 + √3.

Однако, чтобы выразить результат без корней в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √3:

(4/√3 + √3) * (√3/√3) = (4√3 + 3) / 3.

Итак, значение выражения tg30° + tg40° + tg50° + tg60° равно (4√3 + 3) / 3.

Обратите внимание, что данное решение основано на заданном значении выражения 8cos20°√3. Если данное значение оказалось неверным, результат может быть несостоятельным. Проверьте данное значение перед подставлением его в решение.